Question

Помогите решить В арифметической прогрессии а3=16, а9=-8, Sn=80. Найдите n

Answer 1

Ответ:

n= 5 ;n= 8

Объяснение:

В арифметической прогрессии $a{_3}= 16,a{_9}= -8, S{_n}= 80$. Найти    n.

Воспользуемся формулой n- го члена арифметической прогрессии

$a{_n}= a{_1} +d\cdot(n-1)$

Выразим третий и девятый члены прогрессии

$a{_3}= a{_1} +2d;\\a{_9}= a{_1} +8d.$

Тогда составим и решим систему:

$\left \{\begin{array}{l} a{_1}+2d =16, \\a{_1}+8d =-8; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} a{_1}+2d =16, \\6d =-24; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} a{_1}-8 =16, \\d =-4; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1} =24, \\d =-4. \end{array} \right.$

Воспользуемся формулой суммы n- первых членов арифметической прогрессии и найдем n

$S{_n}= \dfrac{2a{_1}+d\cdot(n-1)}{2} \cdot n$

$\dfrac{2\cdot 24+(-4)\cdot(n-1)}{2} \cdot n=80;\\\\ \dfrac{48-4\cdot(n-1)}{2} \cdot n=80;\\\\ \dfrac{48-4n+4}{2} \cdot n=80;\\\\\dfrac{52-4n}{2} \cdot n=80;\\\\\dfrac{2\cdot (26-2n)}{2} \cdot n=80;\\\\2\cdot(13-n)\cdot n =80|:2;\\\\(13 -n)\cdot n =40;\\\\13n-n^{2} =40;\\\\n^{2} -13n +40=0$

$D= (-13)^{2} -4\cdot1\cdot 40=169-160=9=3^{2} ;\\\\n{_1}= \dfrac{13-3}{2} =\dfrac{10}{2} =5;\\\\n{_2}= \dfrac{13+3}{2} =\dfrac{16}{2} =8$

Проверим

При n= 5  получим числа

24; 20; 16; 12; 8

Их сумма  24 + 20 +16 +12 +8 = 80 верно

При n= 8  получим числа

24; 20; 16; 12; 8; 4; 0; - 4

Их сумма  24 + 20 +16 +12 +8 +4 +0+ (-4)  = 80 верно

Значит, n= 5  или n= 8

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы для арифметической прогрессии и суммы членов прогрессии.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n - 1) * d$

где $a_n$ - n-й член прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $n$ - номер члена, $d$ - разность прогрессии.

Известно, что $a_3 = 16$ и $a_9 = -8$. Мы можем использовать эти значения, чтобы найти $a_1$ и $d$:

Для $a_3$:

$16 = a_1 + (3 - 1) * d$ $16 = a_1 + 2d$

Для $a_9$:

$-8 = a_1 + (9 - 1) * d$ $-8 = a_1 + 8d$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($a_1$ и $d$). Мы можем решить эту систему.

Сначала выразим $a_1$ из одного уравнения и подставим его в другое:

Из первого уравнения:

$a_1 = 16 - 2d$

Подставим это значение во второе уравнение:

$-8 = (16 - 2d) + 8d$

Упростим уравнение:

$-8 = 16 + 6d$

Теперь выразим $d$:

$6d = -8 - 16$ $6d = -24$ $d = -4$

Теперь, когда у нас есть значение $d$, мы можем найти $a_1$ снова, используя первое уравнение:

$a_1 = 16 - 2d$ $a_1 = 16 - 2 * (-4)$ $a_1 = 16 + 8$ $a_1 = 24$

Теперь у нас есть значения $a_1$ и $d$:

$a_1 = 24$ $d = -4$

Теперь мы можем найти сумму первых n членов прогрессии ($S_n = 80$):

Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{n}{2} * [2a_1 + (n - 1) * d]$

Подставим значения $a_1$, $d$ и $S_n$:

$80 = \frac{n}{2} * [2 * 24 + (n - 1) * (-4)]$

Раскроем скобки:

$80 = \frac{n}{2} * [48 - 4n + 4]$

Упростим уравнение:

$80 = \frac{n}{2} * (52 - 4n)$

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

$160 = n * (52 - 4n)$

Распределите $n$ через скобки:

$160 = 52n - 4n^2$

Преобразуйте уравнение в квадратное уравнение:

$4n^2 - 52n + 160 = 0$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Давайте разделим все коэффициенты на 4, чтобы упростить его:

$n^2 - 13n + 40 = 0$