Question

Упростить:cos^2a-ctg^2a/sin^2a-tg^2a.

Answer 1

$\frac{ cos^{2}a- \frac{ cos^{2}a }{ sin^{2}a} }{ sin^{2}a- \frac{ sin^{2}a }{ cos^{2}a} } = \frac{ \frac{ sin^{2}a*cos^{2}a-cos^{2}a }{sin^{2}a} }{ \frac{ sin^{2}a*cos^{2}a-sin^{2}a }{cos^{2}a} }= \frac{cos^{2}a(sin^{2}a-1)}{sin^{2}a} \frac{cos^{2}a}{sin^{2}a(cos^{2}a-1)}= \frac{cos^{6}a}{sin^{6}a}=$
=$ctg^{6} a$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться определениями тригонометрических функций и их свойствами. Давайте пошагово рассмотрим процесс упрощения.

Выражение, которое нам необходимо упростить, выглядит следующим образом:

cos^2a - ctg^2a / sin^2a - tg^2a

Шаг 1: Замена тангенса и котангенса

Так как мы имеем дело с квадратами косинуса, синуса, тангенса и котангенса, давайте заменим тангенс и котангенс через синус и косинус, используя их определения:

tg^2a = sin^2a / cos^2a

ctg^2a = cos^2a / sin^2a

Подставим эти замены в наше выражение:

cos^2a - (cos^2a / sin^2a) / sin^2a - (sin^2a / cos^2a)

Шаг 2: Общий знаменатель

Для удобства упрощения, объединим дроби в одну общую дробь. Для этого умножим первую дробь на sin^2a и вторую дробь на cos^2a:

(cos^2a * sin^2a - cos^2a) / (sin^2a * sin^2a) - (sin^2a * cos^2a) / (cos^2a * cos^2a)

Шаг 3: Упрощение числителя

Раскроем скобки в числителе:

cos^2a * sin^2a - cos^2a = cos^2a * (sin^2a - 1)

Шаг 4: Упрощение знаменателя

Раскроем скобки в знаменателе:

sin^4a - cos^4a

Шаг 5: Формула разности квадратов

Воспользуемся формулой разности квадратов для упрощения знаменателя:

(sin^2a - cos^2a) * (sin^2a + cos^2a)

Шаг 6: Тригонометрическая тождества

Вспомним, что sin^2a + cos^2a равно 1, поскольку это является основным тригонометрическим тождеством:

(sin^2a - cos^2a) * 1 = sin^2a - cos^2a

Шаг 7: Итоговый результат

Таким образом, упрощенное выражение будет выглядеть следующим образом:

sin^2a - cos^2a

Это и есть окончательный результат упрощенного выражения.