Question

В арифметической прогрессии а6/а2=3, а сумма первых десяти членов равна 110. Найдите первый член и разность прогрессии?

Answer 1

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии  $a_n=a_1+(n-1)d$, получим  $\dfrac{a_6}{a_2} = \dfrac{a_1+5d}{a_1+d}=3$, тогда, умножив обе части на  $a_1+d\ne0$, получим  $a_1+5d=3a_1+3d$.
Упростив уравнение, получим  $2a_1-2d=0$.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:  $S_{n}= \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n$. используя эту формулу, запишем для суммы первых десяти членов, т.е.  $S_{10}= \dfrac{2a_1+9d}{2}\cdot 10=10a_1+45d=110$. Поделив обе части уравнения на 5, получим  $2a_1+9d=22$.

Решим систему уравнений  $\displaystyle \left \{ {{2a_1-2d=0} \atop {2a_1+9d=22}} \right.$
От первого уравнения отнимем второе, т.е.  $2a_1-2d-2a_1-9d=0-22$
$-11d=-22\\ d=2$

Выразим  $a_1$ из перового уравнения, т.е.  $a_1=d=2$

Ответ: первый член равен 2 и разность прогрессии равен 2.

Answer 2

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как "a" и разность между членами как "d". Тогда у нас есть два уравнения:

1. a6 / a2 = 3
2. Сумма первых десяти членов равна 110.

Для нахождения первого члена "a" мы можем использовать первое уравнение. У нас есть:

a6 / a2 = 3

Мы также знаем, что a6 - a2 = 4d, так как разность между шестым и вторым членом равна 4d. Теперь мы можем переписать первое уравнение следующим образом:

4d / a2 = 3

Теперь давайте перепишем второе уравнение:

Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 110:

10a + 45d = 110

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1. 4d / a2 = 3
2. 10a + 45d = 110

Давайте решим эту систему уравнений. Сначала решим первое уравнение относительно "d":

4d = 3a2

d = (3/4)a2

Теперь подставим это значение d во второе уравнение:

10a + 45[(3/4)a2] = 110

10a + 135a2/4 = 110

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

40a + 135a2 = 440

135a2 + 40a - 440 = 0

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем разделить все коэффициенты на 5:

27a2 + 8a - 88 = 0

Теперь мы можем попробовать решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или факторизации. Дискриминант этого уравнения равен:

D = b2 - 4ac = (8)2 - 4(27)(-88) = 64 + 9504 = 9568

Дискриминант положителен, поэтому у нас есть два решения:

a1 = (-b + √D) / (2a) = (-8 + √9568) / (2 * 27) a2 = (-b - √D) / (2a) = (-8 - √9568) / (2 * 27)

Теперь мы можем вычислить значения a1 и a2:

a1 ≈ 1.86 a2 ≈ -1.27

Поскольку члены арифметической прогрессии должны быть положительными, мы выбираем положительное значение a1 ≈ 1.86.

Теперь мы знаем первый член "a" прогрессии. Давайте найдем разность "d" с использованием первого уравнения:

4d / a2 = 3

4d / (1.86)2 = 3

4d / 3.4596 ≈ 3

4d ≈ 3 * 3.4596

4d ≈ 10.3788

d ≈ 10.3788 / 4

d ≈ 2.5947

Итак, первый член арифметической прогрессии "a" примерно равен 1.86, а разность "d" примерно равна 2.5947.