Question

Решите систему уравнений:|x - 2| + |y - 5| = 1 y - |x - 2| = 5

Answer 1

Поочередно раскрываем модули:
$1) \left \{ {{x-2+y-5=1} \atop {y-x+2=5}} \right. \\ \left \{ {{x \geq 2} \atop {y \geq 5}} \right. \\x+y=8 \\y=3+x \\x+3+x=8 \\2x=5 \\x=2,5 \\y=3+2,5=5,5$
$2) \left \{ {{x-2-y+5=1} \atop y-x+2=5}} \right. \\ \left \{ {{x \geq 2} \atop {y \leq 5}} \right. \\y=3+x \\x+3-3-x=1 \\0x=1 \\x \in \varnothing$
$3) \left \{ {{-x+2+y-5=1} \atop {y+x-2=5}} \right. \\ \left \{ {{x \leq 2\atop {y \geq 5 }} \right. \\y=7-x \\-x+2+7-x-5=1 \\-2x=1-4 \\2x=3 \\x=1,5 \\y=7-1,5=5,5$
$4) \left \{ {{-x+2-y+5=1} \atop {y+x-2=5}} \right. \\ \left \{ {{x \leq 2} \atop {y \leq 5}} \right. \\y=7-x \\-x+2-7+x+5=1 \\-x+x=1 \\0x=1 \\x \in \varnothing$
в итоге система имеет 2 решения.
Ответ: (2,5;5,5), (1,5;5,5)

Answer 2

1)
{|x-2|+|y-5|=1
{y-|x-2|=5
2)
{|x-2|=y-5
{y-5+|y-5|=1
3)
*y-5+|y-5|=1
Возможны 2 случая:
1)у-5>0
у-5+у-5=1
2у=11
у=5,5
2)у-5<0
у-5-у+5=1
0у=1
К.Н.
Тогда:
4)
{у=5,5
{|х-2|=5,5-5
5)
{у=5,5
{|х-2|=0,5
6)
*|х-2|=0,5
Возможны 2 случая:
1)х-2>0
х-2=0,5
х=2,5
2)х-2<0
2-х=0,5
-х=-1,5
х=1,5
7)
Система имеет два решения.
Ответ:(1,5;5,5) и (2,5;5,5).

Answer 3

Давайте решим данную систему уравнений по порядку.

Уравнение 1: |x - 2| + |y - 5| = 1 Уравнение 2: y - |x - 2| = 5

Решение уравнения 1

Рассмотрим два случая: x - 2 >= 0 и x - 2 < 0.

Случай 1: x - 2 >= 0 В этом случае |x - 2| = x - 2. Уравнение 1 становится: (x - 2) + |y - 5| = 1

Случай 2: x - 2 < 0 В этом случае |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2. Уравнение 1 становится: (-x + 2) + |y - 5| = 1

Подставим оба случая в уравнение 1 и решим каждый из них отдельно.

Случай 1: x - 2 >= 0

(x - 2) + |y - 5| = 1

Уравнение 1 становится: x - 2 + |y - 5| = 1

Разделим это уравнение на два случая в зависимости от значения выражения |y - 5|.

Случай 1.1: y - 5 >= 0 В этом случае |y - 5| = y - 5. Уравнение 1 становится: x - 2 + (y - 5) = 1

Случай 1.2: y - 5 < 0 В этом случае |y - 5| = -(y - 5) = -y + 5. Уравнение 1 становится: x - 2 + (-y + 5) = 1

Решим оба случая отдельно.

# Случай 1.1: y - 5 >= 0

x - 2 + (y - 5) = 1

Распределение: x - 2 + y - 5 = 1

Сокращение: x + y - 7 = 1

Переносим -7 на другую сторону: x + y = 1 + 7 x + y = 8

# Случай 1.2: y - 5 < 0

x - 2 + (-y + 5) = 1

Распределение: x - 2 - y + 5 = 1

Сокращение: x - y + 3 = 1

Переносим 3 на другую сторону: x - y = 1 - 3 x - y = -2

Случай 2: x - 2 < 0

(-x + 2) + |y - 5| = 1

Уравнение 1 становится: -x + 2 + |y - 5| = 1

Разделим это уравнение на два случая в зависимости от значения выражения |y - 5|.

Случай 2.1: y - 5 >= 0 В этом случае |y - 5| = y - 5. Уравнение 1 становится: -x + 2 + (y - 5) = 1

Случай 2.2: y - 5 < 0 В этом случае |y - 5| = -(y - 5) = -y + 5. Уравнение 1 становится: -x + 2 + (-y + 5) = 1

Решим оба случая отдельно.

# Случай 2.1: y - 5 >= 0

-x + 2 + (y - 5) = 1

Распределение: -x + 2 + y - 5 = 1

Сокращение: -y - x - 3 = 1

Переносим -3 на другую сторону: -y - x = 1 + 3 -y - x = 4

# Случай 2.2: y - 5 < 0

-x + 2 + (-y + 5) = 1

Распределение: -x + 2 - y + 5 = 1

Сокращение: -y - x + 7 = 1

Переносим 7 на другую сторону: -y - x = 1 - 7 -y - x = -6

Окончательный ответ

Мы получили четыре уравнения:

1. x + y = 8 2. x - y = -2 3. -y - x = 4 4. -y - x = -6

Обратите внимание, что уравнения 3 и 4 эквивалентны, поэтому система имеет две независимые линии решений.

Таким образом, решение системы уравнений является множеством всех точек, которые удовлетворяют одному из этих уравнений.