Question

Площадь прямоугольника равна 36 кв.м. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим.

Answer 1

..........................

Answer 2

Для решения этой задачи обозначим длины сторон прямоугольника через $x$ и $y$. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон, то есть $xy = 36$.

Также известно, что периметр прямоугольника равен $P = 2x + 2y$. Цель состоит в том, чтобы минимизировать периметр.

Мы можем выразить одну из переменных через другую с использованием уравнения для площади: $y = \frac{36}{x}$

Теперь подставим это выражение для $y$ в уравнение для периметра: $P = 2x + 2\left(\frac{36}{x}\right)$

Упростим это уравнение и найдем его производную: $P = 2x + \frac{72}{x}$

$\frac{dP}{dx} = 2 - \frac{72}{x^2}$

Чтобы найти критические точки (где производная равна нулю или не существует), приравняем производную к нулю: $2 - \frac{72}{x^2} = 0$

$\frac{72}{x^2} = 2$

$x^2 = \frac{72}{2}$

$x^2 = 36$

$x = 6$

Теперь найдем соответствующее значение $y$ с использованием уравнения для площади: $y = \frac{36}{x}$

$y = \frac{36}{6} = 6$

Таким образом, чтобы минимизировать периметр прямоугольника при заданной площади, стороны должны быть равны 6 м и 6 м.