Question

Площадь прямоугольника равна 36 дм^2. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его периметр был наименьшим?

Answer 1

S=36 дм²
S=ab
ab=36 => b=36/a
P=2(a+b)
P(a)=2(a+ 36/a)=2(a²+36)/a=2a+ 72/a
P`(a)=(2a+ 72/a)`=2- 72/a²
P`(a)=0
2- 72/a²=0
72\a²=2
2a²=72
a²=36, a>0
a=6(дм)
b=36/a=36/6=6(дм)
Ответ: Стороны прямоугольника равны 6 дм и 6 дм

Answer 2

Давайте обозначим длины сторон прямоугольника как \(x\) и \(y\), где \(x\) — длина, а \(y\) — ширина. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна 36 \(дм^2\), поэтому у нас есть уравнение:

\[xy = 36\]

Также, периметр прямоугольника (P) определяется как сумма длин всех его сторон:

\[P = 2x + 2y\]

Нам нужно найти такие значения \(x\) и \(y\), при которых периметр будет минимален. Мы можем воспользоваться методом подстановки.

Из уравнения площади выразим одну переменную через другую. Допустим, выразим \(y\):

\[y = \frac{36}{x}\]

Теперь подставим это выражение в уравнение для периметра:

\[P = 2x + 2\left(\frac{36}{x}\right)\]

Упростим выражение:

\[P = 2x + \frac{72}{x}\]

Теперь у нас есть выражение для периметра в зависимости от одной переменной \(x\). Чтобы найти минимум этой функции, мы можем взять ее производную по \(x\) и приравнять ее к нулю:

\[\frac{dP}{dx} = 2 - \frac{72}{x^2} = 0\]

Умножим обе стороны на \(x^2\):

\[2x^2 - 72 = 0\]

Теперь решим это уравнение относительно \(x\):

\[2x^2 = 72\]

\[x^2 = 36\]

\[x = 6\]

Таким образом, длина стороны \(x\) должна быть 6 дм. Теперь, используя уравнение для площади, найдем длину стороны \(y\):

\[xy = 36\]

\[6y = 36\]

\[y = 6\]

Таким образом, оптимальные размеры прямоугольника, при которых его периметр минимален, равны 6 дм на 6 дм.