Question

Решить уравнение cos2x-sin2x=0 найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку [pi/4;9pi/4]

Answer 1

Ловите решение. Удачи вам!

Answer 2

Для решения уравнения $\cos(2x) - \sin(2x) = 0$ найдем сначала общее решение и затем выберем те значения $x$, которые принадлежат интервалу $\left[\frac{\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right]$.

Исходное уравнение:

$\cos(2x) - \sin(2x) = 0$

Мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования уравнения:

$\cos(2x) - \sin(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) = 0$

Таким образом, либо $\cos(x) - \sin(x) = 0$, либо $\cos(x) + \sin(x) = 0$.

1. $\cos(x) - \sin(x) = 0$:

$\cos(x) = \sin(x)$

Это верно, например, когда $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n$ - целое число.

2. $\cos(x) + \sin(x) = 0$:

$\cos(x) = -\sin(x)$

Это верно, например, когда $x = \frac{3\pi}{4} + n\pi$, где $n$ - целое число.

Таким образом, общее решение будет:

$x = \frac{\pi}{4} + n\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + n\pi$

Теперь найдем значения $x$, которые принадлежат интервалу $\left[\frac{\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right]$.

Сначала рассмотрим интервал $\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$. Здесь подходит только $x = \frac{\pi}{4}$.

Затем рассмотрим интервал $\left[\frac{3\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right]$. Здесь подходят значения $x = \frac{3\pi}{4}$, $x = \frac{5\pi}{4}$, и т.д.

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие интервалу $\left[\frac{\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right]$, это:

$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$