Question

Решить уравнение 8cos²x – 2sinx = 5

Answer 1

Делаем замену и переносим пятерку в левую сторону.

8(1-sin^2x)-2sinx-5=0

8-8sin^x-2sinx-5=0

8sin^2x+2sinx-3=0

Пусть sinx=t, тогда

8t^2+2t-3=0

Теперь находим дискриминант

Д=4-4*8*(-3)=100, корень из 100=10

t1=1/2

t2=-3/4

1) Если t=1/2, тогда sinx=1/2, тогда x=(-1)^k П/6+ПК

2) Если t=-3/4, тогда sinx=-3/4, тогда x=(-1)^k+1 arcsin 3/4+ПК

 

Answer 2

Для решения уравнения 8cos²x – 2sinx = 5, мы можем использовать различные методы, включая алгебраические преобразования и тригонометрические тождества. Давайте рассмотрим каждый шаг более подробно.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Начнем с преобразования уравнения, чтобы сделать его более удобным для решения. Заметим, что у нас есть квадрат косинуса и синус, поэтому мы можем использовать тригонометрическое тождество cos²x + sin²x = 1 для замены одного тригонометрического выражения другим.

Уравнение примет следующий вид: 8cos²x – 2sinx = 5 8(1 - sin²x) – 2sinx = 5 8 - 8sin²x - 2sinx = 5 8sin²x + 2sinx - 3 = 0

Шаг 2: Замена переменной

Давайте введем новую переменную, например, пусть y = sinx. Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:

8y² + 2y - 3 = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем решить это уравнение, используя любой метод решения квадратных уравнений. Мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию.

Обратите внимание, что это квадратное уравнение вида ay² + by + c = 0, где a = 8, b = 2 и c = -3. Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней:

Дискриминант (D) = b² - 4ac

D = (2)² - 4(8)(-3) D = 4 + 96 D = 100

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня.

Формула для нахождения корней:

y = (-b ± √D) / (2a)

y₁ = (-2 + √100) / (2(8)) y₁ = (-2 + 10) / 16 y₁ = 8 / 16 y₁ = 0.5

y₂ = (-2 - √100) / (2(8)) y₂ = (-2 - 10) / 16 y₂ = -12 / 16 y₂ = -0.75

Шаг 4: Нахождение x

Теперь, когда у нас есть значения y, мы можем вернуться к нашей замене переменной и найти значения x.

Для y = 0.5: sinx = 0.5

Одно из значений x, удовлетворяющих этому условию, это x = π/6 (или 30 градусов).

Для y = -0.75: sinx = -0.75

Одно из значений x, удовлетворяющих этому условию, это x = 7π/6 (или 210 градусов).

Шаг 5: Проверка ответов

Чтобы проверить наши ответы, мы можем подставить значения x обратно в исходное уравнение и убедиться, что оно выполняется.

Для x = π/6: 8cos²(π/6) – 2sin(π/6) = 5 8(√3/2)² - 2(1/2) = 5 8(3/4) - 1 = 5 6 - 1 = 5

Уравнение выполняется.

Для x = 7π/6: 8cos²(7π/6) – 2sin(7π/6) = 5 8(-√3/2)² - 2(-1/2) = 5 8(3/4) + 1 = 5 6 + 1 = 5

Уравнение не выполняется.

Таким образом, решением уравнения 8cos²x – 2sinx = 5 является x = π/6 (или 30 градусов).