Question

x(x-1)(x+2)/x^2-9<0x^2- x в квадрате

Answer 1

x(x-1)(x+2)/(x-3)(x+3) <0,  применим метод интервалов.

Область определения функции:  x-3 не=0 и x+3 не=0, отсюда x не= -3;  3

Нули функции:  x(x-1)(x+2)=0,  x=-2; 0; 1

Эти значения х наносим на числовую прямую, все точки выколотые; расставляем знаки дроби: начинаем справа с "+" и далее в порядке чередования. Нам нужны промежутки со знаком "-". Это (-беск; -3);  (-2; 0);  (1; 3) - это и есть решение неравенства

Answer 2

Чтобы решить неравенство x(x-1)(x+2)/(x^2-9) < 0, мы можем использовать метод интервалов.

Нули функции

Первым шагом является нахождение нулей функции x(x-1)(x+2)/(x^2-9). Чтобы найти нули функции, мы должны приравнять выражение к нулю и решить уравнение:

x(x-1)(x+2)/(x^2-9) = 0

Заметим, что знаменатель x^2-9 не может быть равен нулю, так как это приведет к делению на ноль. Поэтому мы можем игнорировать знаменатель и сосредоточиться только на числителе:

x(x-1)(x+2) = 0

Теперь мы можем найти значения x, при которых числитель равен нулю. Это произойдет, когда один из множителей равен нулю:

x = 0, x - 1 = 0 или x + 2 = 0

Отсюда получаем три нуля функции: x = 0, x = 1 и x = -2.

Анализ интервалов

Теперь, когда мы знаем нули функции, мы можем разделить ось x на интервалы, используя эти нули и точки, где функция не определена. В данном случае, функция не определена при x = ±3 (так как это значения, при которых знаменатель x^2-9 равен нулю). Таким образом, наш интервал будет выглядеть следующим образом:

(-∞, -3), (-3, -2), (-2, 0), (0, 1), (1, 3), (3, +∞)

Знак функции на интервалах

Теперь мы можем определить знак функции на каждом интервале, чтобы найти решение неравенства.

1. В интервале (-∞, -3): Выберем произвольное значение x, например x = -4, и подставим его в исходное неравенство: (-4)(-4-1)(-4+2)/((-4)^2-9) = (-4)(-5)(-2)/((16)-9) = 40/7 > 0 Знак функции на этом интервале положительный (+).

2. В интервале (-3, -2): Выберем произвольное значение x, например x = -2.5, и подставим его в исходное неравенство: (-2.5)(-2.5-1)(-2.5+2)/((-2.5)^2-9) = (-2.5)(-3.5)(-0.5)/((6.25)-9) = 17.5/(-2.75) < 0 Знак функции на этом интервале отрицательный (-).

3. В интервале (-2, 0): Выберем произвольное значение x, например x = -1, и подставим его в исходное неравенство: (-1)(-1-1)(-1+2)/((-1)^2-9) = (-1)(-2)(1)/((1)-9) = 2/(-8) < 0 Знак функции на этом интервале отрицательный (-).

4. В интервале (0, 1): Выберем произвольное значение x, например x = 0.5, и подставим его в исходное неравенство: (0.5)(0.5-1)(0.5+2)/((0.5)^2-9) = (0.5)(-0.5)(2.5)/((0.25)-9) = -0.625/(-8.75) > 0 Знак функции на этом интервале положительный (+).

5. В интервале (1, 3): Выберем произвольное значение x, например x = 2, и подставим его в исходное неравенство: (2)(2-1)(2+2)/((2)^2-9) = (2)(1)(4)/((4)-9) = 8/(-5) < 0 Знак функции на этом интервале отрицательный (-).

6. В интервале (3, +∞): Выберем произвольное значение x, например x = 4, и подставим его в исходное неравенство: (4)(4-1)(4+2)/((4)^2-9) = (4)(3)(6)/((16)-9) = 72/7 > 0 Знак функции на этом интервале положительный (+).

Решение неравенства

Теперь мы можем собрать информацию о знаках функции на интервалах и сформулировать ответ на неравенство:

(-∞, -3): (+) (-3, -2): (-) (-2, 0): (-) (0, 1): (+) (1, 3): (-) (3, +∞): (+)

Исходное неравенство требует, чтобы функция была меньше нуля. Таким образом, решением неравенства являются интервалы, где функция отрицательная:

(-3, -2) и (1, 3)

То есть, решением неравенства x(x-1)(x+2)/(x^2-9) < 0 являются значения x в интервалах (-3, -2) и (1, 3).