Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=5+12x-x^3 На отрезке [-3;-1]

Answer 1

Y'=12-3x^2
12-3x^2=0
12=3x^2
x^2=4
x=±2

x=2∉[-3;-1]⇒не рассматриваем

y(-3)=5+12*(-3)-(-3)^3=5-36+27= -4 -- наибольшее значение функции на отрезке [-3;-1]
y(-2)=5+12*(-2)-(-2)^3=5-24+8= -11 -- наименьшее значение функции на отрезке [-3;-1]
y(-1)=5-12+1= -6

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y = 5 + 12x - x^3 на отрезке [-3; -1], мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для этого нужно найти точки экстремума функции на данном отрезке.

Нахождение точек экстремума

1. Найдем производную функции y по x. Поскольку x^3 имеет степень 3, мы можем использовать правило дифференцирования для степенной функции:

y' = 12 - 3x^2

2. Решим уравнение y' = 0 для нахождения точек экстремума:

12 - 3x^2 = 0

3x^2 = 12

x^2 = 4

x = ±2

3. Проверим, что найденные точки являются точками экстремума, а не точками перегиба, с помощью второй производной:

y'' = -6x

Подставим x = -2:

y''(-2) = -6(-2) = 12 > 0

Подставим x = 2:

y''(2) = -6(2) = -12 < 0

Таким образом, x = -2 является точкой минимума, а x = 2 является точкой максимума.

Вычисление значений функции

Теперь, чтобы найти соответствующие значения функции y на отрезке [-3; -1], подставим найденные точки экстремума и граничные точки отрезка в функцию y = 5 + 12x - x^3:

1. Подставим x = -3:

y(-3) = 5 + 12(-3) - (-3)^3 = 5 - 36 + 27 = -4

2. Подставим x = -2:

y(-2) = 5 + 12(-2) - (-2)^3 = 5 - 24 - (-8) = -11

3. Подставим x = -1:

y(-1) = 5 + 12(-1) - (-1)^3 = 5 - 12 + 1 = -6

4. Подставим x = 2:

y(2) = 5 + 12(2) - 2^3 = 5 + 24 - 8 = 21

Таким образом, наименьшее значение функции y = 5 + 12x - x^3 на отрезке [-3; -1] равно -11, а наибольшее значение равно 21.