Question

Знайти площу фігури обмеженої лініями f(x)=x²+1,y=0,x=0,x=2

Answer 1

Ответ: S=4,667 кв. ед.

Объяснение:

f(x)=x²+1     y=0    x=0     x=2

S=₀∫²(x²+1-0)dx=(x³/3)+x  ₀|²=2³/3+2=(8/3)+2-0=2²/₃+2=4²/₃.

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої лініями $f(x) = x^2 + 1$, $y = 0$, $x = 0$ і $x = 2$, вам потрібно обчислити інтеграл функції $f(x)$ на відрізку $[0, 2]$ і потім відняти площу прямокутника, утвореного лініями $y = 0$, $x = 0$ і $x = 2$.

Спочатку обчислимо інтеграл функції $f(x)$ на відрізку $[0, 2]$:

$$\int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx$$

Знайдемо цей інтеграл:

$$\int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{0}^{2} = \left[\frac{2^3}{3} + 2\right] - \left[\frac{0^3}{3} + 0\right] = \left[\frac{8}{3} + 2\right] - \left[0\right] = \frac{14}{3}$$

Тепер обчислимо площу прямокутника, утвореного лініями $y = 0$, $x = 0$ і $x = 2$. Ширина цього прямокутника - $2$ (від $x = 0$ до $x = 2$), а висота - $0$ (від $y = 0$ до осі x). Тому площа прямокутника дорівнює $2 \cdot 0 = 0$.

Тепер віднімемо площу прямокутника від інтегралу функції, щоб знайти площу фігури:

$$\frac{14}{3} - 0 = \frac{14}{3}$$

Отже, площа фігури, обмеженої лініями $f(x) = x^2 + 1$, $y = 0$, $x = 0$ і $x = 2$, дорівнює $\frac{14}{3}$ квадратних одиниць.