Question

Помогите пожалуйста с дифференциальным уравнением (1-x^2)dy+(xy)dx=0 , у0=4, х0=0

Answer 1

Ответ: y=4*√(1-x²).

Объяснение:

Запишем уравнение в виде (1-x²)*dy=-x*y*dx. Разделив его на произведение y*(1-x²), получим уравнение с разделёнными переменными dy/y=-x*dx/(1-x²), или dy/y=1/2*d(1-x²)/(1-x²). Интегрируя обе части, находим ln/y/=1/2*ln(1-x²)+1/2*ln(C), где C - произвольное положительное число. Отсюда y=√[C*(1-x²)]. Используя условие y(0)=4, находим C=16. Отсюда искомое решение y1=4*√(1-x²).

Answer 2

Конечно, давайте решим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных.

Исходное дифференциальное уравнение:

(1 - x^2) dy + xy dx = 0

Для начала, давайте разделим переменные, переместив члены с y на одну сторону и члены с x на другую сторону:

(1 - x^2) dy = -xy dx

Теперь давайте разделим обе стороны на соответствующие выражения:

dy / y = -x dx / (1 - x^2)

Далее, проинтегрируем обе стороны:

∫(1/y) dy = -∫(x / (1 - x^2)) dx

Интегрируя левую сторону, получим:

ln|y| = -1/2 * ln|1 - x^2| + C1

где C1 - постоянная интеграции.

Теперь давайте применим экспоненциальную функцию к обеим сторонам, чтобы избавиться от натурального логарифма:

|y| = e^(C1) / √(1 - x^2)

Поскольку мы знаем начальные условия у0 = 4 при x0 = 0, можем найти значение постоянной C1:

4 = e^(C1) / √(1 - 0^2)

4 = e^(C1) / 1

Теперь можно найти значение C1, взяв натуральный логарифм от обеих сторон:

ln(4) = C1

Теперь, зная значение C1, мы можем записать окончательное решение:

|y| = e^(ln(4)) / √(1 - x^2)

|y| = 4 / √(1 - x^2)

Теперь давайте учтем начальное условие y0 = 4. Так как мы используем абсолютное значение, у нас есть два варианта:

1. y = 4 / √(1 - x^2) при y > 0
2. y = -4 / √(1 - x^2) при y < 0

Это два варианта решения вашего дифференциального уравнения с начальным условием y0 = 4 и x0 = 0.