Question

Помогите с дифференциальным уравнением (1+4x^3)y"-12x^2y'=0

Answer 1

Данное уравнение не содержит самой неизвестной функции y(x), поэтому можно понизить порядок уравнения. Пусть y'(x)=z(x)⇒y''(x)=z'(x) и уравнение примет вид (1+4*x³)*z'=12*x²*z. Разделив обе части на 1+4*x³, получаем уравнение z'=dz/dx=12*x²*z/(1+4*x³). Умножая обе части на dx и разделив на z, приходим к уравнению dz/z=12*x²*dx/(1+4*x³). А так как d(1+4*x³)=12*x²*dx, то это уравнение можно записать в виде dz/z=d(1+4*x³)/(1+4*x³). Интегрируя обе части, получаем ln/z/=ln/1+4*x³/+lnC1, где C1>0 - произвольная постоянная. Отсюда ln/z/=ln/C1*(1+4*x³)/, z(x)=C1*(1+4*x³) и мы приходим к уравнению y'=dy/dx=C1*(1+4*x³). Умножая на dx, получаем dy=C1*(1+4*x³)*dx. Интегрируя обе части, получаем y(x)=C1*x+C1*x⁴+C2. Проверка: y'(x)=C1+4*C1*x³, y''(x)=12*C1*x², (1+4*x³)*y''-12*x²*y'=12*C1*x²*(1+4*x³)-12*x²*C1*(1+4*x³)=0 - решение найдено верно. Ответ: y(x)=C1*x*(1+x³)+C2.   

Answer 2

Конечно, давайте решим данное дифференциальное уравнение.

Для начала, обозначим y' как производную от y по x, а y'' как вторую производную y по x. Теперь запишем уравнение:

(1 + 4x^3)y" - 12x^2y' = 0

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся методом переменных separable variables. Для этого перепишем уравнение в виде:

(1 + 4x^3)y" = 12x^2y'

Теперь разделим обе части уравнения на (1 + 4x^3) и y':

y" / y' = 12x^2 / (1 + 4x^3)

Теперь проинтегрируем обе части по переменной x. Сначала проинтегрируем левую часть:

∫ (y" / y') dx = ∫ 12x^2 / (1 + 4x^3) dx

Для интегрирования левой части используем замену переменной: u = y', тогда y" = du/dx. Теперь интеграл левой части становится:

∫ (du/dx) dx = ∫ du = u + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

Теперь интегрируем правую часть уравнения:

∫ (12x^2 / (1 + 4x^3)) dx

Для интегрирования правой части воспользуемся заменой переменной: z = 1 + 4x^3, тогда dz/dx = 12x^2, dx = dz / (12x^2). Теперь интеграл правой части становится:

∫ (dz / (12x^2)) = (1/12) ∫ (1/z) dz = (1/12) ln|z| + C2, где C2 - постоянная интегрирования.

Теперь мы имеем:

u + C1 = (1/12) ln|z| + C2

Теперь вернемся к переменной y' (u) и z:

y' = u = (1/12) ln|z| + C2 - C1

y' = (1/12) ln|1 + 4x^3| + C3, где C3 = C2 - C1 (новая постоянная интегрирования).

Теперь найдем y(x), интегрируя y':

∫ y' dx = ∫ ((1/12) ln|1 + 4x^3| + C3) dx

y = (1/12) ∫ ln|1 + 4x^3| dx + C4, где C4 - постоянная интегрирования.

Итак, решение дифференциального уравнения:

y(x) = (1/12) ∫ ln|1 + 4x^3| dx + C4

Заметим, что интеграл ∫ ln|1 + 4x^3| dx не имеет элементарного выражения, поэтому решение остается в неопределенной форме с интегралом. Если необходимо найти численное решение для конкретных значений, можно воспользоваться численными методами интегрирования.