Question

Докажите тождество!!! (cos^2α-tgα×ctgα)/(sin⁡^2α-1)=1/(ctg^2)

Answer 1

Решение во вложенииииииииииииииииииииииииииииии

Answer 2

Для начала, давайте приведем левую и правую части уравнения к общему знаменателю, чтобы их можно было сравнить. У нас есть следующее тождество:

(cos^2α - tgα × ctgα) / (sin^2α - 1) = 1 / (ctg^2α)

Для приведения к общему знаменателю, умножим левую и правую части на (sin^2α - 1) × (ctg^2α):

(cos^2α - tgα × ctgα) × (ctg^2α) = 1 × (sin^2α - 1)

Теперь, раскроем скобки:

(cos^2α × ctg^2α - tgα × ctgα × ctg^2α) = sin^2α - 1

Далее, заменим tgα на sinα / cosα и ctgα на cosα / sinα:

(cos^2α × (cosα / sinα)^2 - (sinα / cosα) × (cosα / sinα) × (cosα / sinα)^2) = sin^2α - 1

Упростим выражение:

(cos^2α × (cos^2α / sin^2α) - (sinα / cosα) × (cosα / sinα) × (cos^2α / sin^2α)) = sin^2α - 1

(cos^4α / sin^2α - (sinα × cosα / sinα × cosα) × (cos^2α / sin^2α)) = sin^2α - 1

(cos^4α / sin^2α - (cos^2α / sin^2α)) = sin^2α - 1

Теперь, объединим дроби:

((cos^4α - cos^2α) / sin^2α) = sin^2α - 1

Далее, факторизуем числитель:

((cos^2α × (cos^2α - 1)) / sin^2α) = sin^2α - 1

Мы знаем, что cos^2α - 1 = -sin^2α, поэтому:

((cos^2α × (-sin^2α)) / sin^2α) = sin^2α - 1

Упростим выражение:

-cos^2α = sin^2α - 1

Теперь, заменим sin^2α на 1 - cos^2α:

-cos^2α = 1 - cos^2α - 1

Сократим -cos^2α и 1:

0 = 0

Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой части. Обе стороны уравнения равны нулю, что подтверждает исходное тождество.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном доказательстве использовались математические преобразования и замены, которые являются стандартными для подобных задач.