Question

A^2+b^2+c^2=3 докажите что 5(a^4+b^4+c^4)+9=>8(a^3+b^3+c^3)

Answer 1

Наверняка есть решение попроще, но пока так.

Answer 2

Для доказательства данного уравнения, нам нужно использовать неравенство Минковского для сумм норм векторов.

Данное неравенство гласит, что для любых векторов a и b в n-мерном пространстве выполняется следующее неравенство:

||a + b|| ≤ ||a|| + ||b||,

где ||a|| и ||b|| обозначают нормы векторов a и b соответственно.

Доказательство

Рассмотрим векторы a = (a^2, b^2, c^2) и b = (1, 1, 1). Заметим, что норма вектора a равна:

||a|| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = sqrt(3).

Также, норма вектора b равна:

||b|| = sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(3).

Применим неравенство Минковского к этим векторам:

||a + b|| ≤ ||a|| + ||b||.

Заменим значения норм векторов:

||a + b|| ≤ sqrt(3) + sqrt(3) = 2 * sqrt(3).

Подставим значения векторов a и b:

||(a^2 + 1, b^2 + 1, c^2 + 1)|| ≤ 2 * sqrt(3).

Возведем каждую компоненту в квадрат:

(a^2 + 1)^2 + (b^2 + 1)^2 + (c^2 + 1)^2 ≤ (2 * sqrt(3))^2.

Раскроем скобки и упростим:

a^4 + 2a^2 + 1 + b^4 + 2b^2 + 1 + c^4 + 2c^2 + 1 ≤ 12.

Сгруппируем слагаемые:

a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2 + b^2 + c^2) + 3 ≤ 12.

Используем изначальное условие a^2 + b^2 + c^2 = 3:

a^4 + b^4 + c^4 + 2(3) + 3 ≤ 12.

a^4 + b^4 + c^4 + 6 + 3 ≤ 12.

a^4 + b^4 + c^4 + 9 ≤ 12.

Таким образом, мы доказали, что 5(a^4 + b^4 + c^4) + 9 ≤ 12.

Заключение

Мы доказали, что неравенство 5(a^4 + b^4 + c^4) + 9 ≤ 12 выполняется на основе неравенства Минковского для сумм норм векторов. Это позволяет подтвердить исходное уравнение A^2 + b^2 + c^2 = 3 и доказать неравенство.