Question

для функции у=f(x) найдите: а)уравнение касательной в точке с абциссой х нулевое б)промежутки монотонности и окстримумы в)наибольшее и наименьшее значение на [а,b] f(x)=1/3x^3-x^2-3x+9 x нулевое =-1 а=-3 b=0

Answer 1

1) y=x-3x^2              x0=2уравнение касательной решается по общей формулеу=f(x0)+f '(x0)(x-x0).Найдем первое эф от икс нулевоеf(x0)=f(2)=2-3*(2)^2=2-3*4=2-12=-10Теперь найдем производную ф от иксf ' (x) = (x-3x^2) ' = 1-6xНайдем производную ф от икс нулевогоf ' (x0) = f '(2) = 1-6*2=1-12=-11.Полученные данны подставляем в уравнение касательнойy= -10-11(x-2)=-10-11x+22=12-11xОтвет: y = 12-11x.Вроде правильно.Сначала найдём точки пересечения с осью абсцисc: x^8+4x^4-5=0 ; t=x^4 ; t^2+4t-5=0 ; D=36 ; t1=-5 (посторонний корень, т.к. чётная степень не может быть отрицательной) ; t2=1 ; x^4=1 ; x1=-1 ; x2=1. Найдём уравнения касательных в этих точках. Y’=8x^7+16x^3 ; y’(1)=24 ; y’(-1)=-24 , касательная в точке х=1: y=24x-24 ; касательная в точке х=-1: y=-24x-24 ; найдём точку пересечения: 24x-24=-24x-24 ; x=0 ; y(0)=-5 ; M(0,-5)-ответ.

y = x^2 (x^2 - 2) + 3y = x^4 - 2x^2 + 3y'(x) = 4x^3 - 4x4x^3 - 4x = 04x * (x^2 - 1) = 0x1 = 0, x2 = -1, x3 = 1.Наносим числа на координатную ось.У нас получается четыре промежутка: (-беск; -1], [-1; 0], [0; 1], [1;+беск)На каждом промежутке проверяем знаки. Получится - + - +Значит, функция возрастает на промежутках [-1; 0] и [1;+беск), а на остальных - убывает.

Answer 2

Уравнение касательной в точке с абсциссой x₀

Для нахождения уравнения касательной к функции f(x) в точке с абсциссой x₀ необходимо найти производную функции f(x) и подставить значение x₀ в данную производную.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (1/3x^3 - x^2 - 3x + 9 + x) = 1/3 * d/dx (x^3) - d/dx (x^2) - d/dx (3x) + d/dx (9) + d/dx (x) = 1/3 * 3x^2 - 2x - 3 + 0 + 1 = x^2 - 2x - 2

2. Подставим значение x₀ в производную функции: f'(x₀) = x₀^2 - 2x₀ - 2

Таким образом, уравнение касательной в точке с абсциссой x₀ будет иметь вид: y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

Промежутки монотонности и экстремумы

Для определения промежутков монотонности и экстремумов функции f(x) необходимо найти вторую производную функции и проанализировать ее знаки.

1. Найдем вторую производную функции f(x): f''(x) = d/dx (x^2 - 2x - 2) = 2x - 2

2. Решим неравенство f''(x) > 0 для определения промежутков, на которых функция является возрастающей: 2x - 2 > 0 2x > 2 x > 1

Таким образом, функция f(x) является возрастающей на промежутке (1, +∞).

3. Решим неравенство f''(x) < 0 для определения промежутков, на которых функция является убывающей: 2x - 2 < 0 2x < 2 x < 1

Таким образом, функция f(x) является убывающей на промежутке (-∞, 1).

4. Найдем точки, в которых происходят экстремумы. Для этого решим уравнение f''(x) = 0: 2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1

Таким образом, функция f(x) имеет экстремум в точке x = 1.

Наибольшее и наименьшее значение на [a, b]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на заданном интервале [a, b] необходимо найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует) и значения функции в этих точках, а также значения функции на концах интервала.

1. Найдем критические точки функции: Для этого решим уравнение f'(x) = 0: x^2 - 2x - 2 = 0

Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Дискриминант D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-2) = 4 + 8 = 12

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня: x₁ = (-(-2) + √12) / (2 * 1) = (2 + √12) / 2 = 1 + √3 x₂ = (-(-2) - √12) / (2 * 1) = (2 - √12) / 2 = 1 - √3

Таким образом, критические точки функции f(x) равны x₁ = 1 + √3 и x₂ = 1 - √3.

2. Найдем значения функции в критических точках: f(x₁) = 1/3 * (1 + √3)^3 - (1 + √3)^2 - 3 * (1 + √3) + 9 + (1 + √3) f(x₂) = 1/3 * (1 - √3)^3 - (1 - √3)^2 - 3 * (1 - √3) + 9 + (1 - √3)

3. Найдем значения функции на концах интервала [a, b]: f(a) = f(-3) = 1/3 * (-3)^3 - (-3)^2 - 3 * (-3) + 9 + (-3) f(b) = f(0) = 1/3 * 0^3 - 0^2 - 3 * 0 + 9 + 0

4. Сравним полученные значения и выберем наибольшее и наименьшее: Сравним значения f(x₁), f(x₂), f(a), f(b) и выберем наибольшее и наименьшее из них.

Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на интервале [a, b], необходимо вычислить значения функции в критических точках x₁ и x₂, а также на концах интервала a и b, и выбрать максимальное и минимальное значение из полученных чисел.