Question

Найдите производную y=log x^2 по основанию (х-1)

Answer 1

Перейдем к новому основанию (е)
$log _{(x-1)} x^2= \frac{ln x^{2} }{ln(x-1)} \\ \\ y'=( \frac{ln x^{2} }{ln(x-1)})'= \frac{(ln x^{2} )'ln(x-1)-(ln(x-1))'ln x^{2} }{ln ^{2} (x-1)} = \frac{ \frac{2ln(x-1)}{x} - \frac{ln x^{2} }{x-1} }{ln ^{2} (x-1)} = \\ \\ = \frac{2ln(x-1)}{xln ^{2} (x-1)} - \frac{ln x^{2} }{(x-1)ln ^{2} (x-1)}= \frac{2}{xln (x-1)} - \frac{ln x^{2} }{(x-1)ln ^{2} (x-1)}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции y = log(x^2) по основанию (x-1), мы будем использовать правило дифференцирования для логарифмических функций.

Первым шагом нам нужно применить правило дифференцирования для логарифма. Правило состоит в следующем:

d/dx (log_a(u)) = (1 / (u * ln(a))) * d/dx(u)

где a - основание логарифма, u - аргумент логарифма.

В нашем случае, основание логарифма равно (x-1), а аргументом логарифма является x^2. Поэтому мы можем записать исходную функцию в виде:

y = log(x^2) = log_a(u), где a = (x-1), u = x^2.

Теперь мы можем применить правило дифференцирования для логарифма:

dy/dx = (1 / (x^2 * ln(x-1))) * d/dx(x^2)

Для нахождения производной x^2, мы можем использовать правило дифференцирования для степенной функции:

d/dx(x^n) = n * x^(n-1)

Применяя это правило, мы получим:

dy/dx = (1 / (x^2 * ln(x-1))) * d/dx(x^2) = (1 / (x^2 * ln(x-1))) * 2x

Упрощая это выражение, мы получим:

dy/dx = 2x / (x^2 * ln(x-1))

Таким образом, производная функции y = log(x^2) по основанию (x-1) равна 2x / (x^2 * ln(x-1)).