Question

Решите уравнение: cos4x cosx + sinx sin4x = √3/2

Answer 1

Применена формула сложения

Answer 2

Давайте решим уравнение cos(4x) + cos(x) + sin(x) + sin(4x) = √3/2 подробно.

1. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Косинусы и синусы можно представить через экспоненты с помощью формулы Эйлера:

cos(θ) = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2 sin(θ) = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i)

Заменим cos(4x) и sin(4x) в уравнении:

(e^(i4x) + e^(-i4x)) / 2 + (e^(ix) + e^(-ix)) / 2 + (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i) + (e^(i4x) - e^(-i4x)) / (2i) = √3/2

2. Упростим выражение, умножив обе части уравнения на 2i:

e^(i4x) + e^(-i4x) + e^(ix) + e^(-ix) + e^(ix) - e^(-ix) + e^(i4x) - e^(-i4x) = 2i * √3 / 2

Теперь у нас есть:

e^(i4x) + e^(-i4x) + 2 * e^(ix) - 2 * e^(-ix) = i * √3

3. Заметим, что e^(ix) и e^(-ix) являются комплексно сопряженными числами. Их сумма равна 2 * Re(e^(ix)), где Re(z) обозначает действительную часть числа z. Также, e^(i4x) и e^(-i4x) также являются комплексно сопряженными числами.

Подставим это в уравнение:

2 * Re(e^(i4x)) + 2 * Re(e^(ix)) = i * √3

4. Распишем e^(iφ) в тригонометрической форме:

e^(iφ) = cos(φ) + i * sin(φ)

Заменим в уравнении:

2 * Re(cos(4x) + i * sin(4x)) + 2 * Re(cos(x) + i * sin(x)) = i * √3

2 * (Re(cos(4x)) + i * Re(sin(4x))) + 2 * (Re(cos(x)) + i * Re(sin(x))) = i * √3

2 * (cos(4x) + cos(x)) + 2 * i * (sin(4x) + sin(x)) = i * √3

5. Разделим уравнение на 2:

cos(4x) + cos(x) + i * (sin(4x) + sin(x)) = i * √3 / 2

Теперь у нас есть два уравнения:

cos(4x) + cos(x) = √3/2 (1) sin(4x) + sin(x) = 0 (2)

6. Решим первое уравнение (1):

Используя тригонометрическую формулу, мы можем переписать cos(4x) и cos(x) через cos^2(x) и sin^2(x):

2 * cos^2(2x) - 1 + 2 * cos^2(x) - 1 = √3/2

Упростим выражение:

2 * cos^2(2x) + 2 * cos^2(x) - 2 = √3/2

2 * (cos^2(2x) + cos^2(x)) = √3/2 + 2

cos^2(2x) + cos^2(x) = (√3 + 4) / 4

Используя тригонометрическое тождество cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2:

(1 + cos(4x)) / 2 + (1 + cos(2x)) / 2 = (√3 + 4) / 4

cos(4x) + cos(2x) + 2 = (√3 + 4) / 2

cos(4x) + cos(2x) = (√3 + 2) / 2 - 1

7. Решим второе уравнение (2):

sin(4x) + sin(x) = 0

Используя тригонометрическую формулу, мы можем переписать sin(4x) и sin(x) через cos(x):

2 * sin(2x) * cos(2x) + sin(x) = 0

sin(2x) * cos(2x) + sin(x) = 0

Используя тригонометрическое тождество sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x):

2 * sin(x) * cos(x) * cos(2x) + sin(x) = 0

sin(x) * (2 * cos(x) * cos(2x) + 1) = 0

Таким образом, sin(x) = 0 или 2 * cos(x) * cos(2x) + 1 = 0

8. Решим уравнение sin(x) = 0:

Это уравнение имеет решения x = 0, π, 2π, 3π, ...

9. Решим уравнение 2 * cos(x) * cos(2x) + 1 = 0:

Поделим обе части уравнения на 2:

cos(x) * cos(2x) + 1/2 = 0

Используя тригонометрическое тождество cos(2x) = 2 * cos^2(x) - 1:

cos(x) * (2 * cos^2(x) - 1) + 1/2 = 0

2 * cos^3(x) - cos(x) + 1/2 = 0

Теперь мы получили уравнение третьей степени для cos(x). Решение этого уравнения может быть сложным и требует применения методов решения уравнений третьей степени, таких как метод Кардано или метод Раффа.

Обратите внимание, что я не буду продолжать решение этого уравнения, так как оно выходит за рамки моих возможностей. Однако, вы можете использовать численные методы или компьютерные программы для нахождения приближенных значений решений.

В итоге, решение исходного уравнения cos(4x) + cos(x) + sin(x) + sin(4x) = √3/2 содержит решения из уравнения sin(x) = 0 (x = 0, π, 2π, 3π, ...) и решения из уравнения 2 * cos(x) * cos(2x) + 1 = 0, которые могут быть найдены численными методами или с использованием компьютерных программ.