Question

Доведіть, що (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) = 2^32 – 1.

Answer 1

a² - b² = (a - b)(a + b)

домножаем на 1 левую часть

1*(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) = (2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) = (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) = (2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) = (2^8 - 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) = (2^16 - 1)(2^16 + 1) = 2^32 - 1

Answer 2

Ця задача може бути вирішена за допомогою індукції. Давайте розглянемо обране вираз і переконаймося, що він справжнісінько рівний $2^{32} - 1$. Спочатку перепишемо вираз в такому вигляді:

$(2^1 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$

Тепер застосуємо формулу різниці квадратів:

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Візьмемо $a = 2^2$ і $b = 1$, тоді $a^2 - b^2 = (2^2 + 1)(2^2 - 1)$. Тепер ми можемо застосувати цей результат до подібних членів у нашому виразі. Розкриємо дужки відповідно:

$(2^1 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$

$= (2^2 + 1)(2^2 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$

Тепер побачимо, що $2^2 - 1 = 3$. Після спрощення вираз виглядає так:

$3(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$

Знову застосуємо формулу різниці квадратів, цього разу з $a = 2^4$ і $b = 1$:

$= 3(2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$

$= 3(2^8 - 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$

$= 3(2^{16} - 1)(2^{16} + 1)$

Тут також застосуємо формулу різниці квадратів, де $a = 2^{16}$ і $b = 1$:

$= 3(2^{32} - 1)$

Тепер ми бачимо, що весь вираз є просто різницею квадратів $a^2 - b^2$, де $a = 2^{32}$ і $b = 1$, тобто:

$3(2^{32} - 1) = 2^{32} - 1$

Таким чином, $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1$.