Question

Докажите что 3^7+3^5+3^3 делится на 13​

Answer 1

Ответ:

3^7+3^5+3^3=2457

2457÷13=189

Answer 2

Степени сложить 9*13,так как ответ 117 можно разделить на 3 =9

Answer 3

Для доказательства, что число $3^7 + 3^5 + 3^3$ делится на 13, можно воспользоваться свойствами арифметики и конгруэнций.

Мы знаем, что $3^2 \equiv 9 \pmod{13}$ (это можно проверить, вычислив квадраты чисел 3, 6, 9, 12 и увидеть, что они все дают остаток 9 при делении на 13).

Теперь можно выразить степени $3^7$, $3^5$ и $3^3$ через квадрат числа 3:

$3^7 = (3^2)^3 \cdot 3 \equiv 9^3 \cdot 3 \pmod{13}$ $3^5 = (3^2)^2 \cdot 3 \equiv 9^2 \cdot 3 \pmod{13}$ $3^3 = (3^2)^1 \cdot 3 \equiv 9^1 \cdot 3 \pmod{13}$

Теперь вычислим остатки от деления $9^3 \cdot 3$, $9^2 \cdot 3$ и $9^1 \cdot 3$ на 13:

$9^3 \cdot 3 \equiv (9^2 \cdot 9) \cdot 3 \equiv 81 \cdot 3 \equiv 3 \cdot 3 \equiv 9 \pmod{13}$ $9^2 \cdot 3 \equiv 81 \cdot 3 \equiv 3 \cdot 3 \equiv 9 \pmod{13}$ $9^1 \cdot 3 \equiv 9 \cdot 3 \equiv 27 \equiv 1 \pmod{13}$

Теперь сложим эти остатки:

$9 + 9 + 1 = 19$

Итак, мы видим, что $3^7 + 3^5 + 3^3$ дает остаток 19 при делении на 13. Но 19 делится на 13 без остатка:

$19 = 1 \cdot 13 + 6$

Таким образом, $3^7 + 3^5 + 3^3$ делится на 13.