Question

Доведіть, що сума кубів двох послідовних не парних натуральних чисел, жодне з яких не кратне 3, ділиться на 9? ​

Answer 1

Нехай перше - 3k + 1, друге - 3k+2:

(3к+1)^3 + (3к+2)^3= 27к^3 + 27к^2 + 9к+ 1 + 27к^3 + 54к^2+ 36к + 8 =           = 54к^3 + 81к^2+ 45к + 9 = 9(6к^3 + 9к^2 + 5к + 1 => дiлиться на 9

Answer 2

Давайте розглянемо два послідовних натуральних числа, які не є парними і не кратні 3. Нехай ці числа будуть a і a + 2, де a - натуральне число, а a і a + 2 не кратні 3.

Спершу знайдемо куб кожного з цих чисел:

1. Куб числа a: a^3.
2. Куб числа a + 2: (a + 2)^3.

Тепер давайте обчислимо суму цих кубів:

a^3 + (a + 2)^3

Розкриємо куб (a + 2)^3 за допомогою формули суми кубів:

(a + 2)^3 = a^3 + 3a^2(2) + 3a(2^2) + 2^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8

Тепер підставимо це у вираз для суми кубів:

a^3 + (a + 2)^3 = a^3 + (a^3 + 6a^2 + 12a + 8)

Тепер об'єднаємо подібні члени:

2a^3 + 6a^2 + 12a + 8

Давайте зараз спростимо цей вираз, вибираючи залишок від ділення на 9:

2a^3 + 6a^2 + 12a + 8 ≡ 2a^3 + 6a^2 + 3a - 1 (mod 9)

Тепер перевіримо, чи цей вираз кратний 9:

2a^3 + 6a^2 + 3a - 1 ≡ 2a^3 + 6a^2 + 3a - 1 (mod 9)

Зауважимо, що всі доданки в цьому виразі діляться на 3, за винятком останнього (-1). Але ми знаємо, що куб кожного натурального числа завжди ділиться на 9, тобто a^3 ≡ 0 (mod 9). Отже, ми можемо замінити a^3 на 0 в виразі:

2a^3 + 6a^2 + 3a - 1 ≡ 0 + 6a^2 + 3a - 1 (mod 9)

Тепер спростимо вираз:

6a^2 + 3a - 1

Цей вираз може бути записаний як:

3(2a^2 + a) - 1

Таким чином, ми бачимо, що 3 ділиться на 9 без залишку, оскільки ми віднімаємо 1. Отже, сума кубів двох послідовних непарних натуральних чисел, жодне з яких не кратне 3, ділиться на 9.