Question

Яка з точок буде точкою мінімуму функції f(x)=x^3+12x-2

Answer 1

Ответ:

$f(x) = {x}^{3} + 12x - 2 \\ f'(x) = 3 {x}^{2} + 12 \\ 3 {x}^{2} + 12 = 0 \\ {x}^{2} + 4 = 0 \\ {x}^{2} = - 4$

точек минимума нет

Answer 2

Щоб знайти точку мінімуму функції $f(x) = x^3 + 12x - 2$, спершу знайдемо похідну функції $f'(x)$ і вирішимо рівняння $f'(x) = 0$. Після цього ми знайдемо значення $x$, для якого $f(x)$ досягає мінімуму.

1. Знайдемо $f'(x)$: $f'(x) = 3x^2 + 12$

2. Розв'яжемо рівняння $f'(x) = 0$: $3x^2 + 12 = 0$

Віднімемо 12 з обох боків: $3x^2 = -12$

Поділимо обидві сторони на 3: $x^2 = -4$

Візьмемо квадратний корінь з обох боків (зауважте, що це буде комплексне число): $x = \pm 2i$

Отже, ми знайшли дві точки, де похідна $f'(x)$ дорівнює нулю: $x = 2i$ та $x = -2i$.

3. Тепер, щоб з'ясувати, яка з цих точок є точкою мінімуму, ми можемо використовувати другу похідну або тест знаків.

Якщо ви використовуєте тест знаків для похідної другого порядку, то візьмемо похідну другого порядку $f''(x)$: $f''(x) = 6x$

Тепер визначимо знак $f''(x)$ навколо точок $x = 2i$ і $x = -2i$:

• Для $x = 2i$, $f''(2i) = 6(2i) = 12i$, що є комплексним числом. Тобто, функція $f(x)$ має точку перегину при $x = 2i$.

• Для $x = -2i$, $f''(-2i) = 6(-2i) = -12i$, також комплексне число. Тобто, функція $f(x)$ має іншу точку перегину при $x = -2i$.

На основі тесту знаків неможливо визначити, яка з цих точок є точкою мінімуму, оскільки обидві точки є точками перегину.

Отже, для даної функції $f(x) = x^3 + 12x - 2$ немає точки мінімуму в реальних числах. Функція має дві точки перегину, але не має локальних мінімумів.