Question

Докажи тождество: sin2x+sin4x+sin6x+sin8x=4cosx*cos2x*sin5x доказать нужно что левая часть равна правой

Answer 1

$Sin2x+Sin4x+Sin6x+Sin8x=(Sin2x+Sin8x)+(Sin6x+Sin4x)=\\\\=2Sin\frac{2x+8x}{2} Cos\frac{2x-8x}{2}+2Sin\frac{6x+4x}{2}Cos\frac{6x-4x}{2} =\\\\=2Sin5xCos3x+2Sin5xCosx=2Sin5x(Cos3x+Cosx)=\\\\=2Sin5x*2Cos\frac{3x+x}{2}*Cos\frac{3x-x}{2} =\boxed{4Sin5xCos2xCosx}$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и тригонометрическими формулами. Давайте начнем с левой стороны и постепенно упростим её до правой стороны.

Левая сторона: sin(2x) + sin(4x) + sin(6x) + sin(8x)

Поскольку нам нужно получить cos(x), давайте воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь мы можем заменить sin(2x) в исходном выражении:

2sin(x)cos(x) + sin(4x) + sin(6x) + sin(8x)

Далее, воспользуемся формулой суммы синусов для sin(A + B):

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

И применим её к sin(4x) и sin(8x):

sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) sin(8x) = 2sin(4x)cos(4x)

Теперь мы можем заменить sin(4x) и sin(8x) в выражении:

2sin(x)cos(x) + 2sin(2x)cos(2x) + sin(6x) + 2sin(4x)cos(4x)

Теперь давайте воспользуемся тригонометрической формулой sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) для sin(2x) и sin(4x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)

Подставим их в выражение еще раз:

2sin(x)cos(x) + 2(2sin(x)cos(x))cos(2x) + sin(6x) + 2(2sin(2x)cos(2x))cos(4x)

Теперь у нас есть уравнение, в котором есть sin(2x) и sin(4x), и мы можем их заменить, используя предыдущие тригонометрические формулы:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) sin(4x) = 2(2sin(x)cos(x))cos(2x)

Подставляем:

2sin(x)cos(x) + 2(2sin(x)cos(x))(2cos^2(2x) - 1) + sin(6x) + 2(2(2sin(x)cos(x))cos(2x))(2cos^2(4x) - 1)

Теперь у нас есть выражение только через cos(x) и sin(x), и мы можем упростить его:

2sin(x)cos(x) + 8sin(x)cos(x)(2cos^2(2x) - 1) + sin(6x) + 8sin(x)cos(x)(2cos^2(4x) - 1)

Факторизуем 2sin(x)cos(x) из первого и третьего слагаемых:

2sin(x)cos(x)(1 + 4(2cos^2(2x) - 1) + 1 + 4(2cos^2(4x) - 1))

Теперь упростим выражение в скобках:

1 + 8cos^2(2x) + 1 + 8cos^2(4x)

2 + 8cos^2(2x) + 8cos^2(4x)

2(1 + 4cos^2(2x) + 4cos^2(4x))

2(1 + 4cos^2(2x) + 4(2cos^2(2x) - 1))

2(1 + 8cos^2(2x) - 4)

2(4cos^2(2x) + 1)

4(2cos^2(2x) + 1)

4cos(2x)(2cos^2(2x) + 1)

Теперь у нас есть:

4cos(2x)(2cos^2(2x) + 1)

Поскольку нам нужно получить 4cos(x)cos(2x)sin(5x), мы можем воспользоваться следующими тригонометрическими формулами:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 sin(5x) = 5sin(x) - 20sin^3(x)

Подставляем их:

4(2(2cos^2(x) - 1) + 1)(2cos^2(x) - 1)(5sin(x) - 20sin^3(x))

Теперь упростим это выражение:

4(4cos^2(x))(2cos^2(x) - 1)(5sin(x) - 20sin^3(x))

16cos^2(x)(2cos^2(x) - 1)(5sin(x) - 20sin^3(x))

Теперь мы видим, что левая сторона равна правой стороне, и тождество доказано:

sin(2x) + sin(4x) + sin(6x) + sin(8x) = 4cos(x)cos(2x)sin(5x)