Question

Пожалуйста решите при каком значении n будет верно равенство: 1)3в степени n * 2 в степени n+2 =864 2)(4в степени n)в степени 2 *(3в степени n+1)в степени 4 =2916? какое из чисел больше 6в степени 20 или 3в степени40 54 в степени 4 или 21 в степени 12

Answer 1

1)
$3^n\cdot 2^{n+2} =27\cdot 32 \\ \\ 3^n\cdot 2^{n+2} =3^3\cdot 2^{3+2} \\ \\ n=3$

2)
$(4^{n})^{2} \cdot (3^{n+1})^4 =3^6\cdot 4 \\ \\ 4^{2n} \cdot 3^{4n+4} =3^6\cdot 4 \\ \\ 2n=1 \\ \\ n= \frac{1}{2}$

3)
 6²⁰=(3·2)²⁰=3²⁰·2²⁰
 3⁴⁰=3²⁰⁺²⁰=3²⁰·3²⁰
Так как  3²⁰ > 2²⁰, то6²⁰<3⁴⁰

54⁴=(27·2)⁴=(3³·2)⁴=(3³)⁴·2⁴=3¹²·2⁴
21¹²=(3·7)¹²=3¹²·7¹²
Так как 2⁴<7¹², то 54⁴<21¹²

Answer 2

Для решения уравнений, представленных в вашем вопросе, вам потребуется использовать свойства степеней и алгебраические методы решения. Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди.

Решение уравнения 1:

Уравнение: 3^n * 2^(n + 2) = 864

Для начала, давайте приведем числа 864 и 2 к одной и той же степени двойки. Заметим, что 864 = 2^6 * 3^3.

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

(3^n * 2^(n + 2)) / (2^6 * 3^3) = 1

Сокращаем общие множители:

(3^n * 2^n) / (2^4 * 3^2) = 1

Теперь раскроем степени:

(3/2)^n / (2^4 * 3^2) = 1

Для того чтобы поделить числа с одной основой, вычитаем показатели степени:

(3/2)^n = 2^4 * 3^2

Теперь приводим обе стороны уравнения к общему виду и находим значение n:

(3/2)^n = 2^4 * 3^2

Так как (3/2) ≈ 1.5, возведем обе стороны уравнения в логарифм по основанию (3/2):

n = log((2^4 * 3^2), (3/2))

Подставляем значения в калькулятор и получаем приблизительное значение n.

Решение уравнения 2:

Уравнение: (4^n)^2 * (3^(n + 1))^4 = 2916

Перепишем число 2916 в виде степени:

2916 = 6^4

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

(4^n)^2 * (3^(n + 1))^4 = 6^4

Раскроем степени:

(4^(2n)) * (3^(4n + 4)) = 6^4

После этого приведем обе стороны уравнения к общему виду:

(2^2)^n * (3^4)^n * 3^4 = 6^4

Упростим:

2^(2n) * 3^(4n) * 3^4 = 6^4

Теперь, используя свойства степеней, сложим показатели степени:

2^(2n) * 3^(4n + 4) = 6^4

Так как 6 = 2 * 3, разложим 6^4 на множители:

(2 * 3)^(4) = 2^4 * 3^4

Получаем:

2^(2n) * 3^(4n + 4) = 2^4 * 3^4

Теперь приводим обе стороны уравнения к общему виду и находим значение n:

2^(2n) * 3^(4n + 4) = 2^4 * 3^4

Так как основания степеней одинаковые, вычитаем показатели степени:

2n = 4

4n + 4 = 4

Таким образом, получаем два значения для n: n = 2 и n = 0.

Сравнение степеней:

Теперь рассмотрим вопрос о сравнении различных степеней.

1. Сравнение 6^20 и 3^40: Для сравнения степеней с одинаковыми основаниями нам нужно сравнить показатели степени. В данном случае, 20 < 40, поэтому 6^20 < 3^40.

2. Сравнение 54^4 и 21^12: Сравнение степеней с разными основаниями сложнее, но мы можем разложить оба числа на множители и сравнить их. После разложения обоих чисел на множители, мы видим, что 54 = 2 * 3^3 и 21 = 3 * 7. Теперь сравним показатели степени: 4 > 12, поэтому 54^4 > 21^12.

Таким образом, мы получаем следующие результаты:

- Решение уравнения 1: Подставив значения в уравнение, вы можете получить конкретные значения для n. - Решение уравнения 2: n может принимать значения 2 и 0. - Сравнение степеней: 6^20 < 3^40 и 54^4 > 21^12.