Question

Может ли число 7^21*9^24+5 быть квадратом некоторого целого числа?

Answer 1

Рассмотрим последовательно последние цифры степеней 7 и 9
Последняя цифра степеней числа 7 повторяется с периодом 4 (7, 9, 3,1, 7, 9, 3, ....)
Значит последняя цифра числа 7^21=7^20*7^1=....1*..7=7

Последняя цифра числа 9 повторяется с периодом 2 (9, 1, 9, 1, ...)
Значит последняя цифра числа 9^24 будет 1

Значит последняя цифра числа 7^21*9^24 будет цифра ...7*...1=..7=7
Последняя цифра числа 7^21*9^24+5=...7+5=..2

Как известно квадраты целых чисел заканчиваются на одну из следующих цифр 0, 1,4,5,6,9 . Т.е. квадрат целого числа на 2 заканчиваться не может.
Итого данное число не может быть квадратом некоторого целого числа

Answer 2

Для того чтобы узнать, может ли число 7^21*9^24 + 5 быть квадратом некоторого целого числа, мы можем разложить эту выражение на простые множители.

Сначала представим число 7^21*9^24 в виде произведения простых множителей:

7^21*9^24 = (7^21)*(3^6)^24 = (7^21)*(3^144)

Теперь мы можем добавить 5 и проверить, является ли полученное число квадратом некоторого целого числа:

(7^21)*(3^144) + 5

Поскольку 5 не является квадратом никакого целого числа, то и (7^21)*(3^144) + 5 также не может быть квадратом некоторого целого числа.

Таким образом, число 7^21*9^24 + 5 не может быть квадратом некоторого целого числа.