Question

Найти коэффициент при x^12 в выражении (x^7 +x^5 +1)^20

Answer 1

Ответ:

380

Объяснение:

При раскрытии произведения 20ти скобок в итоге получается сумма всевозможных произведений слагаемых скобок, в каждом таком произведении - из каждой скобки берется одно из слагаемых. Мы это называем обычно это правило для двух скобок: "каждое слагаемое одной скобки перемножается с каждым из слагаемых другой скобки, а все произведения складываются". В данном случае скобок будет 20, и в этих произведениях будет получаться по 20 множителей. Далее получилось бы много подобных слагаемых, которые мы бы сложили и получили многочлен.

Таким образом, искомый коэффициент - это количество таких первоначально полученных произведений из слагаемых 20ти скобок, выглядящих как х^12.

Чтобы получить x^12, первоначальное произведение должно иметь вид:

x^5*x^7*1*1*1*1*1*....*1          (1)

где всего 20 множителей, 18 единиц, множители выбраны из слагаемых 20ти скобок таким образом, чтобы из каждой из 20ти скобок было выбрано ровно одно слагаемое.

Задача сводится к ответу на вопрос: сколькими способами из 20 скобок данного вида можно выбрать набор из 20 слагаемых, чтобы их произведение имело вид (1).

Чтобы выбрать такой набор слагаемых, будем действовать следующим образом. Перед нами 20 скобок. Выберем из одной из них x^7. То есть x^7 можно выбрать 20ю способами. Останется еще 19 скобок. Из этих 19ти скобок выберем одну, из которой возьмем x^5. Таким образом, x^5 можно выбрать 19ю способами. Останется 18 скобок.

Чтобы иметь в произведении x^12, из остальных 18ти скобок можно выбирать только единицы. То есть выбор однозначен.

Итого, чтобы получить x^12=x^5*x^7 выбираем один множитель 20ю способами, второй множитель - 19ю способами, значит, всё произведение можно выбрать 20*19=380ю способами.

А значит, после приведения всех подобных слагаемых, коэффициент при x^12 будет равен 380.

Ответ: 380

Answer 2

Для нахождения коэффициента при $x^{12}$ в выражении $(x^7 + x^5 + 1)^{20}$, можно воспользоваться биномом Ньютона. Этот биномиальный коэффициент будет представлять собой сочетание степеней $x^7$, $x^5$, и 1, которые образуют $x^{12}$.

Формула бинома Ньютона для вычисления коэффициентов при $x^k$ в выражении $\left(a + b + c\right)^n$ выглядит следующим образом:

$$C(n, k) \cdot a^{n - k} \cdot b^k \cdot c^k$$

В данном случае:

• $n = 20$ (потому что у нас есть степень 20).
• $k = 12$ (потому что мы ищем коэффициент при $x^{12}$).
• $a = x^7$.
• $b = x^5$.
• $c = 1$.

Итак, подставим все значения в формулу:

$$C(20, 12) \cdot (x^7)^{20 - 12} \cdot (x^5)^{12} \cdot 1^{12}$$

Теперь вычислим каждый компонент:

$$C(20, 12) = \frac{20!}{12! \cdot 8!} = 125,970$$

$$(x^7)^{20 - 12} = x^{7 \cdot 8} = x^{56}$$

$$(x^5)^{12} = x^{5 \cdot 12} = x^{60}$$

Теперь умножим все компоненты:

$$125,970 \cdot x^{56} \cdot x^{60} \cdot 1^{12}$$

$$125,970 \cdot x^{116} \cdot 1$$

Таким образом, коэффициент при $x^{12}$ в выражении $(x^7 + x^5 + 1)^{20}$ равен 125,970.