Question

60 БАЛЛОВ!1 Алгебра 8 класс. 68. Покажите, что множество точек стороны квадрата и множество точек диагонали квадрата имеют одинаковую мощность

Answer 1

Ответ:

Множество точек, расположенных внутри квадрата и на его сторонах имеет мощность не большую, чем множество точек стороны квадрата.

Answer 2

Для доказательства того, что множество точек стороны квадрата и множество точек диагонали квадрата имеют одинаковую мощность, мы можем построить биекцию между этими двумя множествами. Биекция - это отображение между множествами, которое устанавливает однозначное соответствие между элементами обоих множеств.

Рассмотрим квадрат со стороной "a". Множество точек стороны квадрата можно представить двумя множествами: верхней стороны и нижней стороны.

1. Верхняя сторона квадрата: Это отрезок длиной "a". Мы можем установить биекцию между этим отрезком и интервалом [0, 1] на числовой оси следующим образом:

   • Верхний конец отрезка (точка A) соответствует точке 0 на интервале [0, 1].
   • Нижний конец отрезка (точка B) соответствует точке 1 на интервале [0, 1].
   • Любая точка на отрезке между A и B соответствует некоторой точке на интервале [0, 1] в однозначном порядке.

2. Нижняя сторона квадрата: Это также отрезок длиной "a", и мы можем установить такую же биекцию, как и в первом случае, между этим отрезком и интервалом [0, 1].

Теперь рассмотрим диагональ квадрата. Диагональ - это отрезок, соединяющий противоположные углы квадрата, и его длина может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

Длина диагонали (d) = sqrt(a^2 + a^2) = sqrt(2a^2) = a√2.

Теперь мы можем установить биекцию между отрезком диагонали и интервалом [0, a√2] следующим образом:

• Начало отрезка диагонали (точка C) соответствует точке 0 на интервале [0, a√2].
• Конец отрезка диагонали (точка D) соответствует точке a√2 на интервале [0, a√2].
• Любая точка на отрезке между C и D соответствует некоторой точке на интервале [0, a√2] в однозначном порядке.

Таким образом, мы установили биекцию между множествами точек стороны квадрата и множеством точек диагонали квадрата, что означает, что у них одинаковая мощность.