Question

Доказать, что a/b + b/a≥2, если ab>0

Answer 1

ab > 0

a b одного знака, значит a/b > 0

a/b + b/a >= 2

a/b + b/a - 2 >= 0

(a² + b² - 2ab)/ab >= 0

(a - b)² / ab >= 0

ab > 0

(a - b)² >= 0

квадрат неотрицателен

чтд

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение:

У нас есть неравенство a/b + b/a ≥ 2, и предположим, что ab > 0. Мы можем начать с неравенства a/b + b/a и попробовать его упростить.

a/b + b/a = (a^2 + b^2) / (ab).

Теперь, учитывая, что ab > 0, мы можем утверждать, что a^2 и b^2 также будут положительными числами (поскольку квадрат положительного числа всегда положителен). Таким образом, (a^2 + b^2) также будет положительным числом.

Итак, мы имеем:

a/b + b/a = (a^2 + b^2) / (ab) > 0 / (ab) = 0.

Теперь мы видим, что a/b + b/a ≥ 0.

Но мы хотим доказать, что a/b + b/a ≥ 2. Для этого давайте воспользуемся неравенством AM-GM (неравенство арифметического и геометрического средних):

AM-GM гласит: Для любых положительных чисел x и y:

(x + y) / 2 ≥ √(xy).

Теперь мы можем применить это неравенство к выражению a/b + b/a:

(a/b + b/a) / 2 ≥ √((a/b) * (b/a)).

Заметим, что (a/b) * (b/a) = 1 (числитель и знаменатель взаимно обратны), поэтому:

(a/b + b/a) / 2 ≥ √(1) = 1.

Умножим обе стороны неравенства на 2:

a/b + b/a ≥ 2.

Итак, мы доказали, что если ab > 0, то a/b + b/a ≥ 2.