Question

1. Найти значение выражения log3 1/27. 2.Упростите выражение cos3α cosα+sin3α sinα.

Answer 1

Log3(1/27)=log3(3)^-3=-3log3(3)=-3*1=-3
cos3a*cosa+sin3a*sina=cos(3a-a)=cos2a

Answer 2

1. Найти значение выражения log3 1/27

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство логарифма, согласно которому:

logₐ b = c ⟺ a^c = b

В данном случае, нам нужно найти значение логарифма по основанию 3, аргументом которого является 1/27.

Таким образом, мы ищем число, возводя которое в степень 3, получим 1/27.

1/27 = (1/3)^3

Следовательно, значение выражения log3 1/27 равно -3.

2. Упростите выражение cos3α cosα sin3α sinα

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать формулу двойного угла для тригонометрических функций:

cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)

Также, мы можем использовать формулу для произведения синусов:

sin(α)sin(β) = (1/2)[cos(α-β) - cos(α+β)]

Применяя эти формулы, мы можем преобразовать выражение:

cos3α cosα sin3α sinα = (cos^2(α) - sin^2(α))(1/2)[cos(3α-α) - cos(3α+α)]

= (cos^2(α) - sin^2(α))(1/2)[cos(2α) - cos(4α)]

= (cos^2(α) - sin^2(α))(1/2)[cos(2α) - cos^2(2α) + sin^2(2α)]

= (cos^2(α) - sin^2(α))(1/2)[cos(2α) - (1 - cos^2(2α)) + (1 - cos^2(2α))]

= (cos^2(α) - sin^2(α))(1/2)[cos(2α) - 1 + cos^2(2α) + 1 - cos^2(2α)]

= (cos^2(α) - sin^2(α))(1/2)(2cos^2(2α))

= (cos^2(α) - sin^2(α))(cos^2(2α))

= cos^2(α)cos^2(2α) - sin^2(α)cos^2(2α)

Таким образом, выражение cos3α cosα sin3α sinα упрощается до cos^2(α)cos^2(2α) - sin^2(α)cos^2(2α).