Question

F(x)=2x+2/x найдите экстремумы функции

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Для нахождения экстремума найдем f'(x)

(2x+2/x)'=(2x)'+(2/x)'=2-2/x²

необходимое условие существования экстремума

f'(x0)=0

2-2/x²=0

x²=1

x1=1  x=-1

рассмотрим смену знака производной f'(x) при переходе через точки +-1

f'(-2)=2-2/4=2-1/2>0

f'(-1/2)=2-2/(1/2)²<0

производная меняет знак с + на -, в точке х=-1 функция имеет максимум f(-1)=-2+2/(-1)=-4

f'(1/2)=2-2/(1/4)<0

f'(3)=2-2/9>0

в точке х=1 имеется минимум

f(1)=2*1+2/1=4

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции $f(x) = 2x + \frac{2}{x}$, нужно найти производные функции и приравнять их к нулю, а затем проверить знаки второй производной в окрестности найденных точек. Экстремумы могут быть минимумами или максимумами.

1. Найдем первую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(2x + \frac{2}{x}\right)$

Используем правила дифференцирования:

$f'(x) = 2 - \frac{2}{x^2}$

2. Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки, где $f'(x) = 0$:

$2 - \frac{2}{x^2} = 0$

Решение этого уравнения:

$2 = \frac{2}{x^2} \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

3. Теперь найдем вторую производную функции $f(x)$:

$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} \left(2x + \frac{2}{x}\right)$

$f''(x) = \frac{4}{x^3}$

4. Теперь проверим знаки второй производной в окрестности точек $x = -1$ и $x = 1$ (точки, где $f'(x) = 0$):

• Для $x < -1$, $f''(x)$ отрицательна ($x^3$ отрицательно, так как $x < -1$), следовательно, у нас есть локальный максимум в точке $x = -1$.
• Для $-1 < x < 1$, $f''(x)$ положительна ($x^3$ положительно, так как $-1 < x < 1$), следовательно, у нас есть локальный минимум в точке $x = 1$.

Таким образом, функция $f(x) = 2x + \frac{2}{x}$ имеет локальный максимум в точке $x = -1$ и локальный минимум в точке $x = 1$.