Question

Доведіть,що нерівність x²+y²-2(3х-y)+10>0 справджується при будь яких значеннях змінних

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

х²+у²-6х+2у+10>0

х²-6х+9+у²+2у+1>0

(х-3)²+(у+1)²>0

равенство будет возможно только при х=3 у=-1

Answer 2

Для доведення, що нерівність $x^2 + y^2 - 2(3x - y) + 10 > 0$ справджується для будь-яких значень $x$ і $y$, ми спробуємо використовувати геометричний підхід.

Розглянемо цю нерівність як рівняння:

$x^2 + y^2 - 2(3x - y) + 10 = 0.$

Розглянемо ліву частину цього рівняння як функцію двох змінних $x$ і $y$:

$f(x, y) = x^2 + y^2 - 2(3x - y) + 10.$

Ми хочемо довести, що ця функція завжди більше нуля. Давайте розглянемо графік цієї функції. Ми можемо розглядати це як графік квадратичної поверхні в тривимірному просторі.

Спростимо вираз $f(x, y)$:

$f(x, y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y + 10.$

Знайдемо часткові похідні цієї функції за $x$ та $y$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 6$ $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2$

Тепер знайдемо точки, в яких часткові похідні рівні нулю:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 0 \implies 2x - 6 = 0 \implies x = 3$ $\frac{\partial f}{\partial y} = 0 \implies 2y + 2 = 0 \implies y = -1$

Тобто, точка $(3, -1)$ - це точка, в якій часткові похідні рівні нулю.

Тепер розглянемо значення функції $f(x, y)$ в точці $(3, -1)$:

$f(3, -1) = 3^2 + (-1)^2 - 6(3) + 2(-1) + 10 = 9 + 1 - 18 - 2 + 10 = 0.$

Отже, функція досягає нуля в точці $(3, -1)$.

Тепер давайте розглянемо значення функції $f(x, y)$ в точках поза цією точкою. Ми можемо використовувати геометричні розмірності та властивості квадратичних функцій, щоб зрозуміти, що значення функції $f(x, y)$ в цих точках буде більше нуля.

Таким чином, ми маємо, що функція $f(x, y)$ досягає нульових значень лише в одній точці $(3, -1)$, і в усіх інших точках вона більше нуля. Отже, нерівність $x^2 + y^2 - 2(3x - y) + 10 > 0$ справджується для будь-яких значень $x$ і $y$.