Question

√(4^2х-3•2^2х )=10-2^(2x+1)

Answer 1

Ответ:

Для решения уравнения, нужно сначала избавиться от корня, возведя обе части уравнения в квадрат. Тогда получим:

4^2x - 3 * 2^2x = (10 - 2^(2x+1))^2

Раскроем квадрат на правой стороне:

4^2x - 3 * 2^2x = 100 - 40 * 2^(2x+1) + 4^(2x+1)

Теперь сгруппируем слагаемые с x, перенеся их в левую часть уравнения:

4^(2x+1) - 4^2x - 3 * 2^2x + 40 * 2^(2x+1) = 100

Разложим 4^(2x+1) на произведение 4^2x * 4, а 2^(2x+1) на произведение 2^2x * 2, тогда получим:

4^2x * (4 - 1) - 2^2x * (3 - 40 * 2) = 100

12 * 4^x - 77 * 2^x = 100

Теперь можно решить это уравнение численно. Можно заметить, что 4^x = 2^(2x), поэтому заменим в уравнении 4^x на 2^(2x):

12 * 2^(2x) - 77 * 2^x = 100

2^x = y (замена переменной)

12y^2 - 77y - 100 = 0

Решаем это квадратное уравнение:

D = 77^2 - 4 * 12 * (-100) = 77^2 + 4800 = 6089

y1,2 = (77 ± √6089) / (2 * 12)

y1 ≈ 8.23, y2 ≈ -1.28

y2 не подходит, так как 2^x > 0 для любого x. Поэтому y = 2^x = y1.

2^x ≈ 8.23

x ≈ log2(8.23)

x ≈ 3

Answer 2

To solve the equation √(4^(2x) - 3 * 2^(2x)) = 10 - 2^(2x+1), we can follow these steps:

1. Square both sides of the equation to get rid of the square root:

   4^(2x) - 3 * 2^(2x) = (10 - 2^(2x+1))^2

2. Expand the right side of the equation:

   4^(2x) - 3 * 2^(2x) = 100 - 40 * 2^(2x) + 4^(2x+2)

3. Move all terms with 2^(2x) to one side of the equation and constants to the other side:

   4^(2x) - 3 * 2^(2x) + 40 * 2^(2x) - 4^(2x+2) = 100

4. Combine like terms:

   4^(2x) - 3 * 2^(2x) + 40 * 2^(2x) - 4^(2x+2) = 100

5. Now, notice that 4^(2x) and 2^(2x) can be expressed in terms of a common base (2^2x):

   (2^2)^(2x) - 3 * 2^(2x) + 40 * 2^(2x) - (2^2x+2) = 100

6. Simplify further:

   2^(4x) - 3 * 2^(2x) + 40 * 2^(2x) - 4 * 2^(2x) = 100

7. Combine the terms with 2^(2x):

   2^(4x) + (40 - 3 - 4) * 2^(2x) = 100

   2^(4x) + 33 * 2^(2x) = 100

8. Divide both sides by 2^(2x) to isolate 2^(2x):

   2^(4x)/2^(2x) + 33 = 100

   2^(2x) + 33 = 100

9. Now, isolate 2^(2x) by moving 33 to the other side:

   2^(2x) = 100 - 33

   2^(2x) = 67

10. Take the logarithm (base 2) of both sides to solve for x:

2x = log₂(67)

11. Finally, divide by 2 to get the value of x:

x = (1/2) * log₂(67)

You can calculate the numerical value of x using a calculator.