Question

В арифметической прогрессии для любых m и n≠1 Sm/Sn= m^2/n^2 . Доказать, что аm/аn= (2m –1)/(2n – 1)​

Answer 1

Используя формулу для суммы членов арифметической прогрессии, имеем:

Sm = (a1 + an) * n / 2 + (a1 + (n-1)*d) * n / 2 + ... + (a1 + (m-1)*d) * n / 2

Sn = (a1 + an) * n / 2 + (a1 + (n-1)*d) * n / 2 + ... + (a1 + (n-1)*d) * n / 2

где d - разность прогрессии.

Вычтем из первого выражения второе:

Sm - Sn = ((a1 + (m-1)*d) * n / 2 - (a1 + (n-1)*d) * n / 2)

Выражаем данное отношение через разность и номера членов:

Sm - Sn = ((a1 + (m-1)*d) - (a1 + (n-1)*d)) * (m + n) / 2

Sm - Sn = (m - n) * (a1 + (m-1)*d + a1 + (n-1)*d) * n / 2

а также выражение из условия:

Sm / Sn = m^2 / n^2

Подставляем полученные выражения и сокращаем общие множители:

(m - n) * (a1 + (m-1)*d + a1 + (n-1)*d) * n / 2 = (m + n) * m^2 / n^2

(m - n) * (2a1 + (m+n-2)*d) * n = 2m^2 * (m + n)

Выражаем аn и am через a1 и d:

an = a1 + (n-1)*d

am = a1 + (m-1)*d

Подставляем в полученное выражение:

(m - n) * (2a1 + (m+n-2)*((am-an)/(m-n))) * n = 2m^2 * (m + n)

(2m-1) * (a1 + (m-1)*d) = (2n-1) * (a1 + (n-1)*d)

am / an = (2m-1) / (2n-1)

что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы начнем с формулы для частичной суммы арифметической прогрессии (АП):

Sm = a1 + a2 + a3 + ... + am Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

Теперь давайте разделим Sm на Sn, используя данное условие:

Sm/Sn = m^2/n^2

Теперь представим частичные суммы в виде их формул:

Sm/Sn = (a1 + a2 + a3 + ... + am) / (a1 + a2 + a3 + ... + an)

Теперь мы можем выразить каждый член через первый член а1 и разность d (шаг арифметической прогрессии):

Sm/Sn = (a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (m-1)d)) / (a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d))

Теперь можно упростить числитель и знаменатель, выделив общий множитель a1 + d:

Sm/Sn = [(a1 + d) * (1 + 2 + 3 + ... + (m-1))] / [(a1 + d) * (1 + 2 + 3 + ... + (n-1))]

Обратите внимание, что 1 + 2 + 3 + ... + k равно сумме первых k натуральных чисел и выражается как k(k+1)/2:

Sm/Sn = [(a1 + d) * (m-1)m/2] / [(a1 + d) * (n-1)n/2]

Теперь можно сократить общий множитель (a1 + d):

Sm/Sn = (m-1)m/2 / (n-1)n/2

Теперь, давайте преобразуем правую часть уравнения с помощью заданного условия:

m^2/n^2 = (m-1 + 1)m/2 / (n-1 + 1)n/2

Мы видим, что (m-1 + 1) и (n-1 + 1) равны m и n соответственно:

m^2/n^2 = (m * m/2) / (n * n/2)

Теперь можно сократить общий множитель 2:

m^2/n^2 = (m * m) / (n * n)

Таким образом, мы доказали, что:

Sm/Sn = m^2/n^2 = (m * m) / (n * n)

Итак, доказано, что am/an = (2m - 1) / (2n - 1).