Question

Исследовать функцию с помощью пределов y=(2x-1)/(x-1)^2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Чтобы исследовать функцию y = (2x - 1)/(x - 1)^2 с помощью пределов, мы можем рассмотреть пределы функции при различных значениях x.

1. Предел при x → 1:

Вычислим предел функции, когда x стремится к 1. Для этого заменим x в функции на 1 и вычислим значение:

lim(x→1) (2x - 1)/(x - 1)^2 = lim(x→1) (2 - 1)/(1 - 1)^2 = 1/0^2 = 1/0 = ∞

Получаем, что предел функции при x → 1 равен положительной бесконечности.

2. Предел при x → ±∞:

Рассмотрим предел функции при x стремящемся к плюс или минус бесконечности. Для этого будем заменять x на большие значения, чтобы увидеть поведение функции:

lim(x→∞) (2x - 1)/(x - 1)^2 = lim(x→∞) 2x/x^2 = lim(x→∞) 2/x = 0

lim(x→-∞) (2x - 1)/(x - 1)^2 = lim(x→-∞) 2x/x^2 = lim(x→-∞) 2/x = 0

Получаем, что пределы функции при x → ±∞ равны нулю.

Исследование пределов позволяет нам понять поведение функции в окрестностях заданных точек и при удалении от них до бесконечности. В данном случае, мы видим, что функция имеет вертикальную асимптоту при x = 1 и горизонтальную асимптоту y = 0 при удалении от точки x = 1 в обе стороны.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию $y = \frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}}$, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции.
2. Найдем пределы при $x$ стремящемся к различным значениям.
3. Определим поведение функции при $x$ стремящемся к бесконечности.
4. Найдем асимптоты функции.
5. Исследуем места, где функция может иметь разрывы.

1. Область определения функции:

Функция $y = \frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}}$ имеет ограничение в знаменателе $(x - 1)^2$, что означает, что $x$ не может быть равен $1$, так как в этом случае знаменатель обращается в ноль. Поэтому, областью определения будет $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

2. Нахождение пределов:

a) Предел при $x \to 1$:

$$\lim_{x \to 1} \frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}} = \text{Найдем величину под знаком предела} = \lim_{x \to 1} \frac{{2x - 1}}{{x^2 - 2x + 1}} = \lim_{x \to 1} \frac{{2x - 1}}{{(x - 1)(x - 1)}} = \frac{{2 - 1}}{{(1 - 1)(1 - 1)}} = \text{неопределенность типа } \frac{0}{0}.$$

Используем правило Лопиталя:

$$\lim_{x \to 1} \frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}} = \lim_{x \to 1} \frac{{\frac{d}{dx}(2x - 1)}}{{\frac{d}{dx}((x - 1)^2)}} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{{2(x - 1)}} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{{x - 1}} = \infty.$$

b) Предел при $x \to +\infty$:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}} = \text{найдем величину под знаком предела} = \lim_{x \to +\infty} \frac{{2x - 1}}{{x^2 - 2x + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{{2x - 1}}{{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{x}} = 0.$$

3. Поведение функции при $x$ стремящемся к бесконечности:

При $x \to +\infty$ значение функции стремится к $0$.

4. Асимптоты:

Горизонтальная асимптота:

При $x \to +\infty$, функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$.

Вертикальная асимптота:

Функция имеет вертикальную асимптоту в точке $x = 1$, так как в этой точке знаменатель обращается в ноль.

5. Разрывы:

Функция имеет разрыв в точке $x = 1$ из-за вертикальной асимптоты.

Итак, исследование функции $y = \frac{{2x - 1}}{{(x - 1)^2}}$ показывает, что она имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$, вертикальную асимптоту $x = 1$ и разрыв в этой точке.