Question

Спростіть вираз (1+ctg²a)(1-sin²a)​

Answer 1

Ответ:

$(1+\mathrm{ctg}^2a)(1-\sin^2a)=\mathrm{ctg}^2a$

Решение:

Воспользуемся двумя следствиями из основного тригонометрического тождества:

$(1+\mathrm{ctg}^2a)(1-\sin^2a)=\dfrac{1}{\sin^2a} \cdot \cos^2a=\dfrac{\cos^2a}{\sin^2a} =\boxed{\mathrm{ctg}^2a}$

Элементы теории:

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

Из него можно выразить квадрат косинуса:

$\Rightarrow 1-\sin^2x=\cos^2x$

Его также можно разделить почленно на квадрат синуса:

$\Rightarrow 1+\mathrm{ctg}^2x=\dfrac{1}{\sin^2x}$

Answer 2

Давайте спростимо вираз: $(1 + \cot^2{a})(1 - \sin^2{a})$

Згідно з тригонометричними тотожностями: $\cot^2{a} = \frac{1}{\tan^2{a}} = \frac{1}{\frac{\sin^2{a}}{\cos^2{a}}} = \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}}$

Отже, ми можемо переписати вираз як: $(1 + \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}})(1 - \sin^2{a})$

Розгортаємо дужки та спрощуємо: $1 - \sin^2{a} + \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}} - \sin^2{a}\frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}}$

Розгортаємо доданки та спрощуємо їх: $1 - \sin^2{a} + \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}} - \cos^2{a}$

Тепер об'єднуємо подібні доданки: $1 - \cos^2{a}$

Використовуючи тригонометричну тотожність $\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1$, ми отримуємо: $1 - \cos^2{a} = \sin^2{a}$