Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^2+1; у=0, х=-1, х=1

Answer 1

$\int\limits^{1}_{-1} {x^2+1} \, dx = \int\limits^{1}_{-1} {x^2} \, dx + \int\limits^{1}_{-1} {} \, dx = \frac{x^3}{3} |^{1}_{-1} + x|^{1}_{-1} = \\ = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} + 1 - (-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + 1 + 1=2 \frac{2}{3} .$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми и вертикальными линиями, необходимо воспользоваться определенным интегралом. В данном случае, фигура ограничена кривой у = x^2 + 1, осью x (y = 0), и вертикальными линиями x = -1 и x = 1.

Сначала найдем точки пересечения кривой y = x^2 + 1 с осью x (y = 0):

x^2 + 1 = 0

x^2 = -1

Это уравнение не имеет действительных корней, поэтому кривая y = x^2 + 1 не пересекает ось x в действительных числах. Однако, мы знаем, что кривая симметрична относительно оси y (x-симметрична), поэтому мы можем вычислить площадь половины фигуры и умножить на 2.

Теперь вычислим площадь половины фигуры с помощью определенного интеграла:

S = 2 * ∫[a, b] (x^2 + 1) dx

Где a = -1 и b = 1 (границы по x).

S = 2 * ∫[-1, 1] (x^2 + 1) dx

S = 2 * [x^3/3 + x] |[-1, 1]

S = 2 * [(1^3/3 + 1) - (-1^3/3 - 1)]

S = 2 * [(1/3 + 1) - (-1/3 - 1)]

S = 2 * [(4/3) - (-4/3)]

S = 2 * (8/3)

S = 16/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой y = x^2 + 1, осью x (y = 0), и вертикальными линиями x = -1 и x = 1, равна 16/3 или приближенно 5.33 единицы площади.