Question

длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 37 см, а его площадь составляет 210 см(в квадрате ) найдите длины катетов

Answer 1

Пусть длины катетов равны A и B. Тогда можно составить систему
A^2 + B^2 = 37^2
(A*B) / 2 = 210
Из второго уравнения получаем, что A*B = 420. Упростим первое уравнение:
A^2 + B^2 = 1369
A^2 + B^2 + 2*A*B - 2*A*B = 1369
(A+B) ^ 2 - 2*A*B = 1369. Подставляем AB:
(A+B) ^ 2 - 2*420 = 1369
(A+B) ^ 2 - 840 = 1369
(A+B) ^ 2 = 2209
A+B = 47
А затем как-то (ну я подбором) находим два числа, которые в произведении дают 420, а в сумме 47. Это числа 12 и 35
Ответ: 12 и 35

Насчёт подбора: можно составить систему:
A+B = 47
A*B = 420
Из первого выражаем A: A = 47 - B. Теперь подставляем A во второе уравнение:
(47 - B) * B = 420
-B^2 + 47*B - 420 = 0
B^2 - 47*B + 420 = 0
D=b^2 - 4*a*c = 2209 - 4*420 = 2209 - 1680 = 529 = 23^2
B1 = (47+23) / 2 = 35; B2 = (47-23) / 2 = 12

Answer 2

Для нахождения длин катетов прямоугольного треугольника, если известна длина гипотенузы (c) и его площадь (S), можно воспользоваться следующими формулами:

1. Площадь треугольника (S) равна половине произведения длин его катетов (a и b): S = (1/2) * a * b.

2. Теорема Пифагора гласит, что для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c выполнено: a^2 + b^2 = c^2.

Сначала найдем катеты a и b. Для этого нам нужно решить систему уравнений, состоящую из этих двух формул.

Для площади: S = (1/2) * a * b, 210 = (1/2) * a * b.

Для теоремы Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, a^2 + b^2 = 37^2.

Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (a и b). Мы можем решить их методом подстановки.

Из уравнения площади мы можем выразить одну из переменных (допустим, a) через другую (b): a = (2 * 210) / b, a = 420 / b.

Подставляем это значение a в уравнение теоремы Пифагора: (420 / b)^2 + b^2 = 37^2.

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной (b). Решим его:

(420^2) / b^2 + b^2 = 37^2, (420^2) / b^2 = 37^2 - b^2, (420^2) = (37^2 - b^2) * b^2, (420^2) = (37^2 * b^2) - (b^4).

Теперь перепишем это уравнение в более удобной форме: b^4 - (37^2 * b^2) + (420^2) = 0.

Это квадратное уравнение относительно b^2. Решим его сначала для b^2 и затем найдем b: b^2 = (37^2 ± √(37^4 - 4 * 420^2)) / 2, b^2 = (37^2 ± √(1369^2 - 4 * 420^2)) / 2.

Вычислим значения под корнем: b^2 = (37^2 ± √(1,877,161 - 705,600)) / 2, b^2 = (1369 ± √(1,171,561)) / 2.

Теперь рассмотрим два случая:

1. b^2 = (1369 + √(1,171,561)) / 2,

2. b^2 = (1369 - √(1,171,561)) / 2.

3. b^2 = (1369 + 1081) / 2, b^2 = 1450 / 2, b^2 = 725.

4. b^2 = (1369 - 1081) / 2, b^2 = 288 / 2, b^2 = 144.

Теперь найдем значения b:

1. b = √725, b ≈ 26.87 см.
2. b = √144, b = 12 см.

Теперь, когда мы нашли значения для b, мы можем найти соответствующие значения для a, используя уравнение a = 420 / b:

1. a ≈ 420 / 26.87, a ≈ 15.64 см.

2. a = 420 / 12, a = 35 см.

Итак, длины катетов равны приближенно 15.64 см и 35 см.