Question

Решите тригонометрические однородные уравнения: 5*sin^2x - 17sinxcosx + 4*cos^2x +4 = 0 6*cos^2x + 4*sinxcosx = 1 cos^2х - это значит косинус х в квадрате и то же с синусом

Answer 1

********************************************

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и попробуем найти его решение.

Уравнение 1: $5\sin^2x - 17\sin{x}\cos{x} + 4\cos^2x + 4 = 0$

Мы можем заметить, что в данном уравнении присутствуют косинус и синус вместе. Давайте попробуем преобразовать это уравнение, используя тригонометрические тождества, чтобы избавиться от смешанных слагаемых.

Сначала давайте заметим, что $\sin^2x + \cos^2x = 1$ (тождество Пифагора). Мы можем выразить $\sin^2x$ через $\cos^2x$, используя это тождество: $\sin^2x = 1 - \cos^2x$.

Подставим это в первое уравнение:

$5(1 - \cos^2x) - 17\sin{x}\cos{x} + 4\cos^2x + 4 = 0$

Упростим:

$5 - 5\cos^2x - 17\sin{x}\cos{x} + 4\cos^2x + 4 = 0$

$-5\cos^2x + 4\cos^2x - 17\sin{x}\cos{x} + 9 = 0$

$-\cos^2x - 17\sin{x}\cos{x} + 9 = 0$

Теперь мы видим, что у нас есть смешанные слагаемые $\sin{x}\cos{x}$. Мы можем воспользоваться формулой для удвоенного угла:

$\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$

Из неё получаем:

$-\cos^2x - \frac{17}{2}\sin{2x} + 9 = 0$

Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствует только синус и косинус отдельно. Продолжим решение:

$-\cos^2x - \frac{17}{2}\sin{2x} + 9 = 0$

$-\cos^2x - 17\sin{x}\cos{x} + 9 = 0$ (используем $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$)

Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное уравнение относительно $\cos{x}$:

$-\cos^2x - 17\sin{x}\cos{x} + 9 = 0$

$-\cos{x}^2 - 17\sin{x}\cos{x} + 9 = 0$

Решив это уравнение, мы найдем значения $\cos{x}$, которые соответствуют решениям первого уравнения. Но решение этого уравнения в явной форме может быть довольно сложным, и оно может содержать численные или параметрические значения.

Уравнение 2: $6\cos^2x + 4\sin{x}\cos{x} = 1$

Давайте попробуем преобразовать это уравнение, чтобы избавиться от смешанных слагаемых:

Мы знаем, что $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Выразим $\cos^2x$ через $\sin^2x$:

$\cos^2x = 1 - \sin^2x$

Подставим это во второе уравнение:

$6(1 - \sin^2x) + 4\sin{x}\cos{x} = 1$

$6 - 6\sin^2x + 4\sin{x}\cos{x} = 1$

$6\sin^2x - 4\sin{x}\cos{x} + 5 = 0$

Мы можем заметить, что это уравнение похоже на квадратное уравнение смешанных слагаемых. Выразим $\sin{x}\cos{x}$ через $\frac{1}{2}\sin{2x}$:

$6\sin^2x - 4\sin{x}\cos{x} + 5 = 0$

$6\sin^2x - 2\sin{2x} + 5 = 0$