Question

(Sin2x+корень3 cos2x )^2=5+cos (p/6-2x) решите уравнение

Answer 1

Я решил на листочке.

Answer 2

Давайте по порядку решим уравнение:

1. Раскроем квадрат на левой стороне:

   $(\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(2x))^2 = 5 + \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$ $\sin^2(2x) + 2\sin(2x)\sqrt{3}\cos(2x) + 3\cos^2(2x) = 5 + \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$

2. Заменим синус и косинус удвоенного угла через соответствующие тригонометрические формулы:

   $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$

   Также заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

3. Подставим в уравнение:

   $\sin^2(2x) + 2\sin(2x)\sqrt{3}\cos(2x) + 3\cos^2(2x) = 5 + \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$ $\left(2\sin(x)\cos(x)\right)^2 + 2\left(2\sin(x)\cos(x)\right)\sqrt{3}\left(\cos^2(x) - \sin^2(x)\right) + 3\left(\cos^2(x) - \sin^2(x)\right)^2 = 5 + \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$

4. Упростим уравнение:

   $4\sin^2(x)\cos^2(x) + 4\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)\left(\cos^2(x) - \sin^2(x)\right) + 3\left(\cos^2(x) - \sin^2(x)\right)^2 = 5 + \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$

5. Заметим, что $\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$, и подставим это:

   $4\sin^2(x)\cos^2(x) + 4\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)\cos(2x) + 3\cos^2(2x) = 5 + \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$

6. Заменим $\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$ через соответствующую формулу:

   $\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = \cos\frac{\pi}{6}\cos(2x) + \sin\frac{\pi}{6}\sin(2x)$ $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}\sin(2x)$

7. Подставим это в уравнение и упростим:

   $4\sin^2(x)\cos^2(x) + 4\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)\cos(2x) + 3\cos^2(2x) = 5 + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}\sin(2x)$