Question

tgx+3ctgx=4. В решении ctgx преобразуют в 1/tgx. Но я,не посмотрев решение,умножила все уравнение на ctgx, и ответы получились разными. Почему так нельзя??

Answer 1

Вообще-то можно учитывать. Сейчас сделаю таким же способом

$tgx+3ctg x=4|*ctgx\\ 1+3ctg^2x=4ctgx\\ 3ctg^2x-4ctgx+1=0$

Пусть ctg x = t, имеем

$3t^2-4t+1=0\\ D=16-12=4\\t_1=1\\ t_2= \frac{1}{3}$

Обратная замена

$ctg x=1\\ x= \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in Z\\ \\ ctgx=\frac{1}{3} \\ x=arcctg\frac{1}{3} + \pi n,n \in Z$

Допустим, из первого корня возьмем n=0, имеем корень x=π/4.
Если подставить в уравнение, то будет выходить верное равенство. 

Решения бывают разными так и ответы тоже.

Answer 2

Давайте рассмотрим вашу ситуацию и разберем, почему результаты могут быть разными в зависимости от того, как вы обрабатываете уравнение.

Исходное уравнение: tg(x) + 3ctg(x) = 4.

Вы хотите решить это уравнение. Одним из способов является преобразование ctg(x) в 1/tg(x), что даст нам:

tg(x) + 3 * (1/tg(x)) = 4.

Теперь у нас есть уравнение только с функцией тангенса. Это уравнение можно умножить на tg(x), чтобы избавиться от знаменателя и решить его:

tg^2(x) + 3 = 4tg(x).

Это квадратное уравнение относительно tg(x). Вы можете решить его, найдя корни и проверив, какие из них удовлетворяют исходному уравнению.

Теперь давайте рассмотрим ваш подход, когда вы умножили исходное уравнение на ctg(x):

tg(x) * ctg(x) + 3 * ctg(x) = 4 * ctg(x).

Здесь первое слагаемое tg(x) * ctg(x) эквивалентно 1, так как tg(x) * ctg(x) = 1. Поэтому вы получаете:

1 + 3 * ctg(x) = 4 * ctg(x).

Это уравнение также содержит только ctg(x), и вы можете решить его:

1 = ctg(x).

Это уравнение дает вам конкретное значение для ctg(x), а именно 1.

Проблема с этим подходом заключается в том, что умножение на ctg(x) может привести к утрате решений или к добавлению фиктивных решений, которых нет в исходном уравнении. Это связано с тем, что ctg(x) может быть равно нулю, и деление на ноль некорректно. Когда вы умножили исходное уравнение на ctg(x), вы введете ограничения на значения переменных, которые могут быть противоречивыми с исходным уравнением.

Поэтому правильный способ решения уравнения - это преобразование ctg(x) в 1/tg(x), что не нарушает ограничения исходного уравнения и дает вам точные результаты.