Question

Помогите пожалуйста доказать тотождество: arcsinx+arccosx=pi/2, x принадлежит [-1;1]

Answer 1

Положим  $\arcsin x= \beta$, тогда  $x=\sin \beta =\cos( \frac{\pi}{2}- \beta )$

Получаем

$\arcsin x+\arccos x=\arcsin(\sin \beta )+\arccos (\cos( \frac{\pi}{2}-\beta)) =\beta+ \frac{\pi}{2}-\beta =\frac{\pi}{2}$

Доказано.

Answer 2

Давайте докажем данное тождество для x из интервала [-1;1].

1. Пусть у нас есть угол θ, такой что -π/2 ≤ θ ≤ π/2. Тогда sin(θ) ≥ 0 и cos(θ) ≥ 0.

2. Предположим, что x = cos(θ). Тогда θ = arccos(x) и sin(θ) = sin(arccos(x)).

3. Известно, что sin(θ) = √(1 - cos²(θ)), так как sin²(θ) + cos²(θ) = 1. Подставим сюда x = cos(θ):

   sin(arccos(x)) = √(1 - cos²(arccos(x))) = √(1 - x²).

4. Так как sin(θ) ≥ 0 и cos(θ) ≥ 0, то θ находится в первом или четвёртом квадрантах, что означает, что 0 ≤ θ ≤ π/2. Это приводит к тому, что sin(arccos(x)) = √(1 - x²).

5. Таким образом, получаем, что arcsin(x) + arccos(x) = θ + arccos(x) = π/2.

Таким образом, доказано тождество arcsin(x) + arccos(x) = π/2 для x из интервала [-1;1].