Question

Сколько решений имеет уравнение (2x+y)^2=2017+x^2 в целых числах x,y?

Answer 1

Упростим данное уравнение.
(2х+у)² = 2017 + х²

 (2x+y)² - х² = 2017

(2х+у-х)(2х+у+х) = 2017

(х+у)(3х+у) = 2017

 Число 2017 - простое. Все делители числа 2017 это 1 и 2017.

(х+у)·(3х+у) = 1·2017

отсюда вытекает только одна система:

{х+у = 1

{3х+у=2017

Из первого уравнения выразим у. 

у=1-х

Подставим у=1-х во второе уравнение и получим: 

3х+1-х = 2017

2х = 2017 – 1

2х = 2016

х = 2016 : 2

х = 1008

Подставим х=1008 в у = 1-х и найдём у. 

у = 1 – 1008

у = - 1007

 

Получили только 1 решение: х = 1008;  у = - 1007

 

Проверка:

 (2*1008-1007)² = 2017+1008²

1009² - 1008² = 2017

(1009-1008)(1009+1008) = 2017

1*2017 = 2017

2017 = 2017  верное равенство.

Ответ:  х = 1008;  у = - 1007  только одно решение. 

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение:

(2x + y)^2 = 2017 + x^2

Раскроем квадрат в левой части:

4x^2 + 4xy + y^2 = 2017 + x^2

Перенесем все члены на одну сторону:

3x^2 + 4xy + y^2 = 2017

Для начала, давайте попробуем оценить диапазон значений x и y. Заметим, что уравнение имеет квадраты, поэтому все его члены должны быть неотрицательными. Также, так как у нас есть слагаемое 2017, давайте оценим максимальное значение x и y, чтобы получить верхний предел для возможных значений.

Пусть (2x + y)^2 = 2017 + x^2 = M, где M - максимальное значение на левой стороне уравнения.

Тогда, 4x^2 + 4xy + y^2 = M, и с учетом неотрицательности всех слагаемых, можем записать:

4x^2 ≤ M 4xy ≤ M y^2 ≤ M

Сложим все три неравенства:

4x^2 + 4xy + y^2 ≤ 3M

Таким образом, имеем:

3x^2 + 4xy + y^2 = 2017 ≤ 3M

Отсюда получаем M ≥ 672.33 (приближенное значение).

Теперь, так как x и y являются целыми числами, возможные значения M: 673, 674, и так далее.

Давайте подставим M = 673 в уравнение:

3x^2 + 4xy + y^2 = 2017

Подставим целые значения x и y, начиная с -30 до 30, и посмотрим, есть ли решения.

После проверки всех комбинаций, я не нашел целых решений для данного уравнения. Это не исключает возможность существования целых решений, но моя проверка показывает, что они не очень очевидны.

Таким образом, на текущем этапе моего анализа, я не нашел целых решений для уравнения (2x + y)^2 = 2017 + x^2.