Question

Решить уравнение: sin2x-2cos(x- 4 pi/3)=√3 sinx

Answer 1

Для начала распишем выражение cos(x- 4 pi/3) по формуле разности 2-х углов:
cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

$cos(x- \frac{4 \pi }{3} )=cosx*cos\frac{4 \pi }{3}+sinx*sin\frac{4 \pi }{3}=cosx*(- \frac{1}{2} )+ \\ +sinx*(- \frac{ \sqrt{3} }{2} )=- \frac{1}{2} cosx-\frac{ \sqrt{3} }{2}sinx$

Также расписываем синус двойного угла:
$sin2x=2sinx*cosx$

Теперь подставляем это в уравнение:

$sin2x-2cos(x- \frac{4 \pi }{3} )= \sqrt{ 3} sinx \\ \\2sinx*cosx-2(- \frac{1}{2} cosx-\frac{ \sqrt{3} }{2}sinx)= \sqrt{ 3} sinx \\ \\ 2sinx*cosx+ cosx+\sqrt{3}sinx-\sqrt{ 3} sinx= 0 \\ \\ 2sinx*cosx+cosx=0 \\ \\ cosx(2sinx+1)=0$

$\begin{bmatrix} cosx=0 \\ 2sinx+1=0 \end {matrix} \ \Leftrightarrow \ \begin{bmatrix} x= \frac{ \pi }{2}+ \pi n, \ n \in Z \\ sinx=- \frac{1}{2} \end {matrix} \ \Leftrightarrow \ \begin{bmatrix} x= \frac{ \pi }{2}+ \pi n, \\x=- \frac{ \pi }{6}+2 \pi n \\ x=- \frac{ 5\pi }{6}+2 \pi n, \ n \in Z \end {matrix} \\ \\ \\ OTBET: \frac{ \pi }{2}+ \pi n; \ - \frac{ \pi }{6}+2 \pi n; \ - \frac{ 5\pi }{6}+2 \pi n, \ n \in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте следующие шаги:

1. Преобразуем выражение, используя тригонометрические тождества.
2. Решим полученное уравнение для неизвестной переменной x.

Итак, начнем с преобразования:

sin(2x) - 2cos(x - 4π/3) = √3sin(x)

Используем тригонометрические тождества:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(4π/3) = -1/2, sin(4π/3) = -√3/2

Теперь уравнение выглядит так:

2sin(x)cos(x) + √3 = 2cos(x) + √3sin(x)

Теперь перенесем все члены синусов и косинусов на одну сторону, а константы на другую:

2sin(x)cos(x) - 2cos(x) - √3sin(x) + √3 = 0

Теперь факторизуем полученное уравнение:

2cos(x)(sin(x) - 1) - √3(sin(x) - 1) = 0

Вынесем общий множитель (sin(x) - 1):

(2cos(x) - √3)(sin(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 2cos(x) - √3 = 0

2. sin(x) - 1 = 0

3. Для уравнения 2cos(x) - √3 = 0:

cos(x) = √3 / 2

Углы, удовлетворяющие этому уравнению, это x = π/6 и x = 5π/6.

2. Для уравнения sin(x) - 1 = 0:

sin(x) = 1

Угол, удовлетворяющий этому уравнению, это x = π/2.

Таким образом, решением исходного уравнения являются x = π/6, x = 5π/6 и x = π/2.