Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^4-1/2*x^2+1,[-1;1]

Answer 1

Решено $\checkmark$

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $f(x)=x^4-\frac{1}{2}x^2+1$ на интервале $[-1;1]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки, где $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует.
2. Проверьте значения функции в этих критических точках и на концах интервала $[-1;1]$.
3. Сравните полученные значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее значение.

Шаг 1: Найдем $f'(x)$:

$f(x) = x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 1$

$f'(x) = 4x^3 - x$

Шаг 2: Найдем критические точки:

Чтобы найти критические точки, приравняем производную $f'(x)$ к нулю и решим уравнение:

$4x^3 - x = 0$

$x(4x^2 - 1) = 0$

Таким образом, критическими точками будут $x = 0$ и $x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}} = \pm \frac{1}{2}$.

Шаг 3: Проверим значения функции в этих критических точках и на концах интервала $[-1;1]$:

1. $x = -1$:

$f(-1) = (-1)^4 - \frac{1}{2}(-1)^2 + 1 = 1 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$

2. $x = -\frac{1}{2}$:

$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^4 - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} + 1 = \frac{25}{16}$

3. $x = 0$:

$f(0) = 0^4 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 + 1 = 1$

4. $x = \frac{1}{2}$:

$f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} + 1 = \frac{25}{16}$

5. $x = 1$:

$f(1) = 1^4 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 + 1 = 1 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$