Question

Доказать тождество 2sin3a×cos4a+sina=sin7a

Answer 1

$2sin(3a)*cos(4a)+sin(a)=sin(7a)$
$2(\frac{sin(3a-4a)+sin(3a+4a)}{2})+sin(a)=sin(7a)$
$sin(-a)+sin(7a)+sin(a)=sin(7a)$
$-sin(a)+sin(7a)+sin(a)=sin(7a)$
$sin(7a)=sin(7a)$

тождество верно

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся тригонометрическими тождествами и преобразованиями:

1. Используем тригонометрическое тождество: sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)

2. При помощи этого тождества преобразуем выражение 2sin(3a) * cos(4a): 2sin(3a) * cos(4a) = sin(2 * 3a) = sin(6a)

3. Теперь заменим sin(6a) в исходном уравнении: sin(6a) + sin(a) = sin(7a)

4. Воспользуемся формулой суммы синусов: sin(x) + sin(y) = 2 * sin((x + y) / 2) * cos((x - y) / 2)

5. Применим формулу суммы синусов к выражению sin(6a) + sin(a): 2 * sin((6a + a) / 2) * cos((6a - a) / 2) = 2 * sin(7a/2) * cos(5a/2)

6. Теперь уравнение примет вид: 2 * sin(7a/2) * cos(5a/2) = sin(7a)

7. Разделим обе части уравнения на sin(7a): 2 * cos(5a/2) = 1

8. Теперь выразим cos(5a/2): cos(5a/2) = 1 / 2

Таким образом, мы доказали, что тождество 2sin(3a) * cos(4a) + sin(a) = sin(7a) выполняется при условии, что cos(5a/2) = 1/2.