Question

Решите уравнение Sin2x+2cos^2x+cos2x=0

Answer 1

$\sin(2x) + 2\cos^2x+\cos(2x)=0\\2\sin x\cos x+2\cos^2 x+\cos^2x-\sin^2x=0\\(\cos^2x+2\sin x\cos x+\sin^2x)+2(\cos^2x-\sin^2x)=0\\(\cos x+\sin x)^2+2(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)=0\\(\cos x+\sin x)(\cos x+\sin x+2\cos x-2\sin x)=0\\(\cos x+\sin x)(3\cos x-\sin x)=0$

$1)~\cos x+\sin x=0~~~|:\cos x\neq 0\\\\~~~\dfrac {\cos x}{\cos x}+\dfrac {\sin x}{\cos x}=0;~~1+tg~x=0;~~tg~x=-1\\\\~~~~\boxed{\boldsymbol{x_1=-\dfrac{\pi}4+\pi n,~n\in \mathbb Z}}\\\\2)~3\cos x-\sin x=0~~~|:\cos x\neq 0\\\\~~~\dfrac {3\cos x}{\cos x}-\dfrac {\sin x}{\cos x}=0;~~~3-tg~x=0; ~~~tg~x=3\\\\~~~~\boxed{\boldsymbol{x_2=arctg~3+\pi k,~k\in \mathbb Z}}$

==================================

Использованы формулы :

sin (2α) = 2 sin α cos α

cos (2α) = cos²α - sin²α

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² - b² = (a + b) (a - b)

Answer 2

Решение приложено

========================================================

Answer 3

Для решения уравнения Sin^2(x) + 2cos^2(x) + cos(2x) = 0, сначала попробуем преобразовать его используя тригонометрические тождества.

Тригонометрические тождества, которые понадобятся:

1. cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
2. Sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Теперь подставим их в уравнение:

Sin^2(x) + 2cos^2(x) + cos(2x) = 0 Sin^2(x) + 2cos^2(x) + 2cos^2(x) - 1 = 0 Sin^2(x) + 4cos^2(x) - 1 = 0

Теперь заменим Sin^2(x) на (1 - cos^2(x)) согласно тождеству 2:

(1 - cos^2(x)) + 4cos^2(x) - 1 = 0 1 - cos^2(x) + 4cos^2(x) - 1 = 0 3cos^2(x) - cos^2(x) = 0 2cos^2(x) = 0

Теперь решим уравнение 2cos^2(x) = 0:

cos^2(x) = 0

Для решения этого уравнения найдем значения угла, при которых косинус равен нулю. Косинус равен нулю в двух точках на интервале [0, 2π]: π/2 и 3π/2.

Таким образом, получаем два решения:

1. x = π/2
2. x = 3π/2

Проверим наши решения, подставив их в исходное уравнение:

При x = π/2:

Sin^2(π/2) + 2cos^2(π/2) + cos(2π/2) = 1 + 2(0) + cos(π) = 1 + 0 -1 = 0

При x = 3π/2:

Sin^2(3π/2) + 2cos^2(3π/2) + cos(2(3π/2)) = 1 + 2(0) + cos(3π) = 1 + 0 -1 = 0

Оба решения верны. Итак, ответ:

x = π/2 и x = 3π/2.