Question

Помогите плиз При каких значениях параметра а функция y=5/3ax^3 - 30*x^2 + 5(a+9)x - 7 возрастает на всей числовой прямой?

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для того чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, её производная должна быть положительной на всем диапазоне значений переменной x. Поскольку данная функция y(x) является многочленом третьей степени, для определения интервалов возрастания или убывания, нам понадобятся производные.

1. Найдем производную функции y(x) по переменной x:

y = (5/3)ax^3 - 30x^2 + 5(a+9)x - 7

y' = d/dx[(5/3)ax^3 - 30x^2 + 5(a+9)x - 7] y' = (d/dx)[(5/3)ax^3] - (d/dx)[30x^2] + (d/dx)[5(a+9)x] - (d/dx)[7] y' = (5a)x^2 - 60x + 5(a+9)

2. Теперь найдем условия, при которых y' > 0, чтобы функция возрастала:

(5a)x^2 - 60x + 5(a+9) > 0

3. Посмотрим на дискриминант квадратного уравнения (5a)x^2 - 60x + 5(a+9):

D = (-60)^2 - 4 * 5a * 5(a+9) D = 3600 - 100a^2 - 900a

4. Чтобы функция y(x) возрастала на всей числовой прямой, дискриминант D должен быть меньше нуля:

D < 0 3600 - 100a^2 - 900a < 0

5. Решим неравенство:

100a^2 + 900a - 3600 > 0 a^2 + 9a - 36 > 0

6. Найдем корни уравнения a^2 + 9a - 36 = 0, чтобы определить интервалы, на которых выполнено условие a^2 + 9a - 36 > 0:

a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a a = (-(9) ± √(9^2 - 41(-36))) / 2*1 a = (-9 ± √(81 + 144)) / 2 a = (-9 ± √225) / 2 a = (-9 ± 15) / 2

Таким образом, получаем два корня a1 = 3 и a2 = -12.

7. Построим таблицу знаков для неравенства a^2 + 9a - 36 > 0:

a | a^2 + 9a - 36 ------+---------------- -13 | -121 -12 | 0 -11 | -55 ...| ... 2 | 7 3 | 18 4 | 37 ...| ...

8. Анализируя таблицу знаков, можем определить интервалы, на которых выполнено условие a^2 + 9a - 36 > 0:

a ∈ (-∞, -12) U (3, +∞)

Таким образом, когда параметр "а" принимает значения из интервала (-∞, -12) или (3, +∞), функция y(x) = (5/3)ax^3 - 30x^2 + 5(a+9)x - 7 возрастает на всей числовой прямой.