Question

Вычислить площадь поверхности образованной вращением дуги кривой x=3(t-sint) y=3(1-cost) Pi<=t<=2Pi, вокруг оси абсцисс. Помогите пожалуйста

Answer 1

$> <img src=$

Answer 2

Для вычисления площади поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг оси абсцисс, мы можем использовать формулу для вычисления поверхности вращения.

Формула для вычисления поверхности вращения вокруг оси x (если кривая задана как x = f(y)):

$S = 2\pi \int_{y_1}^{y_2} |f(y)| \sqrt{1 + \left(\frac{df(y)}{dy}\right)^2} \, dy$

где $y_1$ и $y_2$ - это значения y, соответствующие началу и концу дуги кривой.

В нашем случае, у нас задана кривая в параметрической форме $x=3(t-\sin t)$ и $y=3(1-\cos t)$ для $\pi \leq t \leq 2\pi$.

Сначала найдем $y_1$ и $y_2$ для этой кривой:

При $t = \pi$, $y_1 = 3(1 - \cos \pi) = 0$ При $t = 2\pi$, $y_2 = 3(1 - \cos 2\pi) = 0$

Теперь найдем $\frac{dx}{dt}$ и $\frac{dy}{dt}$:

$\frac{dx}{dt} = 3(1 - \cos t)$ $\frac{dy}{dt} = 3\sin t$

Теперь найдем $\frac{dx}{dy}$:

$\frac{dx}{dy} = \frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}} = \frac{3(1 - \cos t)}{3\sin t} = \frac{1 - \cos t}{\sin t}$

Теперь можем вычислить интеграл:

$S = 2\pi \int_{0}^{0} |3(1 - \cos t)| \sqrt{1 + \left(\frac{1 - \cos t}{\sin t}\right)^2} \, dt$

Заметим, что $|3(1 - \cos t)| = 3|\sin t|$, и интеграл от 0 до 0 равен 0. Поэтому площадь поверхности вращения вокруг оси абсцисс равна 0.

Таким образом, площадь поверхности образованной вращением дуги кривой вокруг оси абсцисс равна 0.