Question

Решите уравнение sin^4 2x + cos^4 2x= sin 2x × cos 2x

Answer 1

Смотри прикрепленное решение 

Answer 2

Для решения данного уравнения давайте заменим sin^2(2x) и cos^2(2x) на (1 - cos^2(2x)) и (1 - sin^2(2x)) соответственно, используя тригонометрическую тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

(sin^2(2x))^2 + (cos^2(2x))^2 = sin(2x) * cos(2x)

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(sin^4(2x) + cos^4(2x)) - 2*sin^2(2x)*cos^2(2x) = sin(2x) * cos(2x)

Заметим, что sin(2x) * cos(2x) = sin(4x) / 2 (используем формулу произведения синуса и косинуса двойного угла), и sin^2(2x) * cos^2(2x) = (sin(2x) * cos(2x))^2 = sin^2(4x) / 4.

Подставим это в уравнение:

(sin^4(2x) + cos^4(2x)) - 2*(sin^2(4x) / 4) = sin(4x) / 2

Умножим все слагаемые на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

4sin^4(2x) + 4cos^4(2x) - sin^2(4x) = 2*sin(4x)

Теперь заменим sin^2(4x) на (1 - cos^2(4x)) с использованием тригонометрической тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

4sin^4(2x) + 4cos^4(2x) - (1 - cos^2(4x)) = 2*sin(4x)

Далее заменим cos^4(2x) на (1 - sin^4(2x)):

4sin^4(2x) + 4(1 - sin^4(2x)) - (1 - cos^2(4x)) = 2*sin(4x)

Раскроем скобки:

4sin^4(2x) + 4 - 4sin^4(2x) - 1 + cos^2(4x) = 2*sin(4x)

Упростим выражение:

3 + cos^2(4x) = 2*sin(4x)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы заменить cos^2(4x):

3 + 1 - sin^2(4x) = 2*sin(4x)

2 - sin^2(4x) = 2*sin(4x)

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

sin^2(4x) + 2*sin(4x) - 2 = 0

Данное уравнение является квадратным относительно sin(4x). Решим его с помощью квадратного уравнения:

Пусть t = sin(4x), тогда:

t^2 + 2t - 2 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью квадратного корня:

t = (-2 ± √(2^2 - 41(-2))) / 2*1 t = (-2 ± √(4 + 8)) / 2 t = (-2 ± √12) / 2 t = (-2 ± 2√3) / 2

Разделим на 2:

t = -1 ± √3

Теперь вспомним, что t = sin(4x) и решим уравнение для sin(4x):

1. sin(4x) = -1 + √3
2. sin(4x) = -1 - √3

Теперь найдем углы, для которых выполняются эти уравнения. Диапазон значений для синуса находится между -1 и 1, и только два значения из наших уравнений находятся в этом диапазоне:

1. sin(4x) = -1 + √3 => это значение не входит в диапазон (-1, 1), таким образом, это уравнение не имеет решений.

2. sin(4x) = -1 - √3

Теперь найдем угол, для которого выполняется это уравнение:

4x = arcsin(-1 - √3)

4x = -150° + 360° * n, где n - целое число.

Теперь найдем значения x:

1. x = -150° / 4 + 360° * n / 4
2. x = 45° + 90° * n, где n - целое число.

Таким образом, решением уравнения являются значения x = -150°/4 + 360°n/4 и x = 45° + 90°n, где n - целое число.