Question

Помогите пожалуйста с домашней контрольной работой! 1. Вычислить: 12 / π × arcsin(1 / 2) – 3 / π × arctg(√3) 2. Решить уравнение: cos(π/2-2x)=√2/2 3. Найти максимум функции: y(x)=1/2x в четвёртой степени+x³-x²+3

Answer 1

Решение
1. Вычислить: 12 / π × arcsin(1 / 2) – 3 / π × arctg(√3) = 
= 12/π * (π/6) - 3/π * (π/3) = 2 - 1 = 1

2. Решить уравнение: cos(π/2-2x)=√2/2
2x - π/2 = +-arccos(√2/2) + 2πk, k ∈ Z
 2x = +-(π/4) + π/2 + 2πk, k ∈ Z
2x = +-(π/8) + π/4 + πk, k ∈ Z

3. Найти максимум функции: y(x)=1/2x⁴ + x³ - x² + 3
Находим первую производную функции:
y' = 2x³ + 3x² - 2x
или
y' = x(2x² + 3x - 2)
Приравниваем ее к нулю:
x(2x² + 3x - 2) = 0
x₁ = 0
2x² + 3x - 2 = 0
D = 9 + 4*2*2 = 25
x₂ = (-3 - 5)/4 = - 2
x₃ = (- 3 + 5)/4 = 1/2
Вычисляем значения функции 
f(1/2) = (1/2)*(1/2)⁴ + (1/2)³ - (1/2)² + 3 = 1/32 + 1/8 - 1/4 + 3 = 93/32
f(0) = 3
f(-2) =  (1/2) * (-2)⁴ + (- 2)³ - (-2)²  + 3 = 8 - 8 - 4 + 3 = -1
Ответ: fmin = -1, fmax = 3
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 6x² + 6x - 2
Вычисляем:
y''(0) = - 2 < 0 - значит точка x = 0 точка максимума функции.
y''(-2) = 6*(-2)² + 6*(-2)  - 2= 24 - 12 - 2 = 10 > 0 - значит точка x = - 2 точка минимума функции.

Answer 2

Конечно, я помогу вам с этими задачами.

1. Вычислить: Для этого нам нужно заменить числовые значения функций арксинуса и арктангенса на результаты их вычисления и затем выполнить операции.

Известно, что arcsin(1/2) = π/6 и arctg(√3) = π/3.

Теперь мы можем подставить значения и выполнить операции: 12 / π × (π/6) - 3 / π × (π/3) = 2 - 1 = 1.

2. Решить уравнение: cos(π/2 - 2x) = √2/2.

Начнем с замены угла π/2 - 2x = α, тогда уравнение станет: cos(α) = √2/2.

Известно, что cos(π/4) = √2/2, поэтому α = π/4.

Теперь мы можем найти значение x: π/2 - 2x = π/4, 2x = π/2 - π/4, 2x = π/4, x = π/8.

3. Найти максимум функции: y(x) = 1/2x⁴ + x³ - x² + 3.

Для нахождения максимума функции, мы найдем её производную и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки.

y'(x) = 2x³ + 3x² - 2x.

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 2x³ + 3x² - 2x = 0.

Мы видим, что x = 0 является одним из решений.

Теперь найдем второе решение, разделив уравнение на x: 2x² + 3x - 2 = 0.

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта или факторизации. Факторизуя, мы получаем: (2x - 1)(x + 2) = 0.

Отсюда получаем два дополнительных решения: x = 1/2 и x = -2.

Теперь мы имеем три критические точки: x = 0, x = 1/2 и x = -2. Чтобы найти максимум, нам нужно сравнить значения функции в этих точках.

y(0) = 3, y(1/2) = 5/16 + 1/8 - 1/4 + 3 = 27/16, y(-2) = 16 - 8 - 4 + 3 = 7.

Самое большое значение у функции y(x) равно 27/16 и достигается при x = 1/2.